Prove as relações para encontrar os mínimos de interferência em um experimento de fenda dupla. Usando ondas planas monocromáticas, derive a condição para interferência destrutiva, mostrando que os mínimos ocorrem quando a diferença de caminho óptico é (m+1 / 2) \lambda, onde m é um inteiro, resultando na posição angular \theta \approx(m+1 / 2) \lambda / d, com d sendo a separação das fendas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, no experimento de dupla fenda com ondas planas monocromáticas, que os mínimos de interferência (interferência destrutiva) ocorrem quando a diferença de caminho óptico entre as duas fendas é
\Delta = \bigl(m+\tfrac12\bigr)\,\lambda,
sendo m um inteiro, e que isso leva à posição angular aproximada
\theta \approx \frac{(m+\tfrac12)\,\lambda}{d},
onde d é a separação entre as fendas.

Passo 2

Para relacionar a diferença de caminho óptico à geometria do experimento, considere duas fendas S_1 e S_2 separadas por d e um ponto P no anteparo que forma um ângulo \theta medido perpendicularmente ao meio das fendas. Os caminhos até P são r_1 e r_2. Pela geometria de triângulos aproximadamente isósceles,
\Delta = r_2 - r_1 \approx d\,\sin\theta.
Esse resultado decorre de projetar o deslocamento d na direção do feixe que chega em P.

Passo 3

O critério de interferência destrutiva (mínimos) é que as cristas de uma onda coincidam com vales da outra, gerando defasagem de \pi (mais múltiplos inteiros de 2\pi). Em termos de caminho isso equivale a
\Delta = \bigl(m+\tfrac12\bigr)\,\lambda, \qquad m = 0,1,2,\dots
Aqui \lambda é o comprimento de onda.

Passo 4

Igualando as duas expressões para \Delta, temos
d\,\sin\theta = \bigl(m+\tfrac12\bigr)\,\lambda.
Para pequenos ângulos \theta, vale \sin\theta\approx\theta (em radianos). Logo
\theta \approx \frac{(m+\tfrac12)\,\lambda}{d}.

Resposta

A condição de mínimos (interferência destrutiva) é
\Delta = \bigl(m+\tfrac12\bigr)\,\lambda,
e a posição angular correspondente, para pequenos \theta, é
\theta \approx \frac{(m+\tfrac12)\,\lambda}{d}.

Exercícios relacionados