Prove as fórmulas para amplitude e intensidade na interferência de fenda dupla. Assuma ondas planas monocromáticas e derive a expressão para a amplitude total em um ponto de observação, considerando a diferença de fase devido à diferença de caminho óptico. Mostre que a intensidade é dada por I=4 I_{0} \cos ^{2}(\delta / 2), onde \delta é a diferença de fase.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir, no caso de interferência de duas fendas iluminadas por ondas planas monocromáticas, a expressão da amplitude resultante num ponto de observação e, em seguida, mostrar que a intensidade é
I = 4\,I_{0}\,\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{\delta}{2}\bigr),
onde \delta é a diferença de fase entre as ondas vindas das duas fendas. Para isso vamos modelar cada onda como um campo elétrico senoidal de mesma frequência e amplitude, diferindo apenas por um atraso de fase.

Passo 2

Seja cada onda em P descrita por
E_{1}(t) = E_{0}\,\cos(\omega t)
E_{2}(t) = E_{0}\,\cos(\omega t + \delta),
onde \delta = k\,\Delta r é a diferença de fase resultante da diferença de caminho óptico \Delta r entre as fendas e o ponto P, com k = \tfrac{2\pi}{\lambda}.

Passo 3

Para somar as duas ondas usamos a identidade de soma de cossenos. A amplitude total E(t)=E_{1}(t)+E_{2}(t) vale
E(t) = E_{0}\bigl[\cos(\omega t) + \cos(\omega t + \delta)\bigr].
Usando
\cos A + \cos B = 2\,\cos\!\bigl(\tfrac{A+B}{2}\bigr)\,\cos\!\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr),
com A=\omega t e B=\omega t+\delta, obtemos
E(t) = 2\,E_{0}\,\cos\!\bigl(\omega t + \tfrac{\delta}{2}\bigr)\,\cos\!\bigl(\tfrac{\delta}{2}\bigr).
Dessa forma, a amplitude máxima (envelope) é
E_{\max} = 2\,E_{0}\,\bigl|\cos(\tfrac{\delta}{2})\bigr|.

Passo 4

Sabendo que a intensidade de uma onda eletromagnética é proporcional ao quadrado da amplitude, ou seja
I \propto E_{\max}^{2},
e definindo I_{0} como a intensidade de cada fenda isolada (proporcional a E_{0}^{2}), temos
I = (2\,E_{0}\,\cos\tfrac{\delta}{2})^{2} = 4\,E_{0}^{2}\,\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{\delta}{2}\bigr).
Logo, usando I_{0}\propto E_{0}^{2}, obtemos
I = 4\,I_{0}\,\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{\delta}{2}\bigr).

Resposta

I = 4\,I_{0}\,\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{\delta}{2}\bigr).

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