Prove que a função dada por está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
em .
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente tem a função dada por . O objetivo é provar que essa série é bem definida em todo e que . Vamos usar teoria de séries de potências, teste da razão e diferenciação termo a termo, além de reindexação de somatórios.
Passo 2
Pra ver que f está bem definida, a gente olha a série e aplica o teste da razão. Lembrando que .
Como L < 1, o raio de convergência é infinito, então a série converge para todo x in R.
Passo 3
Como a série converge em todo R, podemos diferenciar termo a termo. Primeiro derivada: