Prove que a função f: R longrightarrow R dada por f(x)=sumn=0^infty (-1)^n(2 n)! x^2 n está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
y^prime prime+y=0
em R.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a função f: R to R dada por f(x)=sumn=0^infty (-1)^n(2n)! x^2n. O objetivo é provar que essa série é bem definida em todo R e que f''(x) + f(x) = 0. Vamos usar teoria de séries de potências, teste da razão e diferenciação termo a termo, além de reindexação de somatórios.

Passo 2

Pra ver que f está bem definida, a gente olha a série f(x)=sumn=0^infty (-1)^n(2n)! x^2n e aplica o teste da razão. Lembrando que an = (-1)^n(2n)!.
L = limn to infty |an+1an| = limn to infty 1/(2n+2)!1/(2n)! = limn to infty 1(2n+2)(2n+1) = 0
Como L < 1, o raio de convergência é infinito, então a série converge para todo x in R.

Passo 3

Como a série converge em todo R, podemos diferenciar termo a termo. Primeiro derivada:
f'(x) = sumn=1^infty (-1)^n(2n)! cdot 2n cdot x^2n-1 = sumn=1^infty (-1)^n(2n-1)! x^2n-1
E a segunda derivada fica:
f''(x) = sumn=1^infty (-1)^n(2n-1)! cdot (2n-1) cdot x^2n-2 = sumn=1^infty (-1)^n(2n-2)! x^2n-2

Passo 4

Agora fazemos a mudança de índice m = n - 1. Assim:
f''(x) = summ=0^infty (-1)^m+1(2m)! x^2m = -summ=0^infty (-1)^m(2m)! x^2m = -f(x)
Portanto f''(x) + f(x) = 0 para todo x.

Resposta

A função f está bem definida em R e satisfaz f''(x) + f(x) = 0 para todo x in R.

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