Verifique que as séries abaixo são convergentes. Justifique.
sumn=1^+infty sen(1n raiz[3]n^2+3)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^inftysin!gl(1nraiz[3]n^2+3gr)
O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste de comparação. Precisaremos das propriedades de pequenas argumentações de seno, em particular que para todo x>=0 vale
sin(x)<= x,
e da convergência da série p-com a p>1.

Passo 2

Chamemos
an=sin!l(1nraiz[3]n^2+3r)
Como para ntoinfty o argumento do seno tende a zero, podemos usar a desigualdade
sin(x)<= x, x>=0,
com x=1nraiz[3]n^2+3>0. Logo
an<= 1nraiz[3]n^2+3

Passo 3

Note que
raiz[3]n^2+3 > raiz[3]n^2=n^2/3,
então
1nraiz[3]n^2+3 <1ncdot n^2/3 =1n^5/3
Portanto
0<= an<= 1n^5/3

Passo 4

A série
sumn=1^infty1n^5/3
é uma série p-com com p=tfrac53>1, logo converge. Pelo teste da comparação direta, como 0<= an<= 1/n^5/3 e sum1/n^5/3 converge, concluímos que
sumn=1^inftyan =sumn=1^inftysin!l(1nraiz[3]n^2+3r)
converge.

Resposta

A série sumn=1^inftysin!l(1nraiz[3]n^2+3r) é convergente.

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