Verifique que as séries abaixo são convergentes. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste de comparação. Precisaremos das propriedades de pequenas argumentações de seno, em particular que para todo
vale
e da convergência da série
-com a
.
Passo 2
Chamemos
Como para
o argumento do seno tende a zero, podemos usar a desigualdade
com
. Logo
Passo 3
Note que
então
Portanto
Passo 4
A série
é uma série
-com com
, logo converge. Pelo teste da comparação direta, como
e
converge, concluímos que
converge.
Resposta
A série
é convergente.