Use série para aproximar a integral definida com a precisão indicada.
integral0^0,5 x^2 e^-x^2 d x (2 casas)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
integral0^0,5 x^2e^-x^2,dx
com duas casas decimais de precisão, usando série de Maclaurin. Vamos expandir e^-x^2, formar a série do integrando e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Usamos a série de Maclaurin
e^t=sumn=0^inftyt^nn!,
logo, tomando t=-x^2,
e^-x^2=sumn=0^infty(-1)^nx^2nn!
Multiplicando por x^2, obtemos
x^2e^-x^2 =sumn=0^infty(-1)^nx^2n+2n!

Passo 3

Integramos termo a termo de 0 a 0,5:
integral0^0,5x^2e^-x^2,dx =sumn=0^infty(-1)^nn!integral0^0,5x^2n+2,dx =sumn=0^infty(-1)^nn![x^2n+32n+3]0^0,5 =sumn=0^infty(-1)^n(0,5)^2n+3(2n+3),n!

Passo 4

Para garantir erro menor que 0,005 (metade da casa decimal), usamos o critério de série alternada: o resto em módulo é menor que o próximo termo. Calculamos alguns termos:
T0=(0,5)^33cdot0!=0,0416667
T1=-(0,5)^55cdot1!=-0,00625 Longrightarrow S1=T0+T1=0,0354167
T2=+(0,5)^77cdot2!approx+0,00055804 Longrightarrow S2approx0,03597471
T3=-(0,5)^99cdot6approx-0,00003617 Longrightarrow S3approx0,03593854
O próximo termo em módulo é
T4approx1,85times10^-6<0,005,
logo o resto é desprezível para duas casas decimais.

Passo 5

A soma parcial S3approx0,03594 arredondada a duas casas decimais é
0,04

Resposta

0,04

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