Prove que a função
dada por
está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
em
.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que a função
está bem definida em
e satisfaz a equação diferencial
Vamos usar conteúdos de séries de potências (teste da razão), diferenciação termo a termo e manipulação de somatórios para resolver.
Passo 2
Para provar que a série converge em todo
, aplicamos o teste da razão. O coeficiente geral é
Calculamos
para todo
x , logo a série converge em
R e
f está bem definida.
Passo 3
Como a série converge uniformemente em intervalos compactos, podemos derivar termo a termo. Começando de
stamos
e ainda
Passo 4
Substituindo na EDO, obtemos
No primeiro somatório, façamos
m=n-1 . Para
m>=0 :
Assim
istindo que a EDO é satisfeita.
Passo 5
Concluímos que a série converge para todo
xinR e que
f''(x)-2x,f'(x)=0 . Portanto,
f é solução da equação diferencial dada.
Resposta
A série converge para todo
xinR e satisfaz
f''(x)-2x,f'(x)=0 , logo
f é solução da EDO.