Prove que a função f: R longrightarrow R dada por f(x)=sumn=0^infty 1(2 n+1) n! x^2 n+1 está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
y^prime prime-2 x y^prime=0
em R.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a função
f(x)=sumn=0^infty1(2n+1),n!,x^2n+1
está bem definida em R e satisfaz a equação diferencial
y''-2x,y'=0
Vamos usar conteúdos de séries de potências (teste da razão), diferenciação termo a termo e manipulação de somatórios para resolver.

Passo 2

Para provar que a série converge em todo R, aplicamos o teste da razão. O coeficiente geral é
an=1(2n+1),n!
Calculamos
limntoinfty|an+1,x^2n+3an,x^2n+1|=limntoinfty2n+1(2n+3)(n+1),|x|^2=0<1
para todo x, logo a série converge em R e f está bem definida.

Passo 3

Como a série converge uniformemente em intervalos compactos, podemos derivar termo a termo. Começando de
f(x)=sumn=0^inftyx^2n+1(2n+1),n!,
stamos
f'(x)=sumn=0^infty(2n+1)x^2n(2n+1),n!=sumn=0^inftyx^2nn!,
e ainda
f''(x)=sumn=0^infty2n,x^2n-1n!

Passo 4

Substituindo na EDO, obtemos
f''(x)-2x,f'(x)=sumn=1^infty2n,x^2n-1n!-2xsumn=0^inftyx^2nn!
No primeiro somatório, façamos m=n-1. Para m>=0:
sumn=1^infty2n,x^2n-1n!=summ=0^infty2(m+1),x^2m+1(m+1)!=summ=0^infty2,x^2m+1m!
Assim
f''(x)-2x,f'(x)=summ=0^infty2x^2m+1m!-summ=0^infty2x^2m+1m!=0
istindo que a EDO é satisfeita.

Passo 5

Concluímos que a série converge para todo xinR e que f''(x)-2x,f'(x)=0. Portanto, f é solução da equação diferencial dada.

Resposta

A série converge para todo xinR e satisfaz f''(x)-2x,f'(x)=0, logo f é solução da EDO.

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