Usando coordenadas esfericas, calcule a massa do soblido compreendido entre as esferas
e
, com densidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente calcular a massa de um sólido que está entre duas esferas: uma de raio 1 (
) e outra de raio 2 (
). A densidade desse sólido é dada por
.
Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para lidar com esferas. Vamos precisar entender como transformar as equações das esferas para coordenadas esféricas e como montar a integral para calcular a massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo no plano (ângulo azimutal). -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo (ângulo polar).
A relação entre coordenadas cartesianas
e esféricas é:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. Como estamos entre as esferas de raio 1 e 2:
-
varia de 1 a 2. -
varia de 0 a (uma volta completa ao redor do eixo ). -
varia de 0 a (do polo norte ao polo sul).
Passo 4
A densidade
em coordenadas esféricas fica mais simples. Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, vamos montar a integral para a massa
:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos integrar em relação a
:
Passo 8
Substituindo de volta:
Integrando em relação a
:
Resposta
Portanto, a massa do sólido é: