Usando coordenadas esfericas, calcule a massa do soblido compreendido entre as esferas x^2+y^2+z^2=1 e x^2+y^2+z^2=4, com densidade de<a(x, y, z)=1raizx^2+y^2+z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente calcular a massa de um sólido que está entre duas esferas: uma de raio 1 ( x^2+y^2+z^2=1) e outra de raio 2 ( x^2+y^2+z^2=4). A densidade desse sólido é dada por de<a(x, y, z)=1raizx^2+y^2+z^2.
Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para lidar com esferas. Vamos precisar entender como transformar as equações das esferas para coordenadas esféricas e como montar a integral para calcular a massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por (rho, theta, phi), onde:
  • rho é a distância do ponto até a origem.
  • theta é o ângulo no plano xy (ângulo azimutal).
  • phi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (ângulo polar).
A relação entre coordenadas cartesianas (x, y, z) e esféricas é:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Como estamos entre as esferas de raio 1 e 2:
  • rho varia de 1 a 2.
  • theta varia de 0 a 2pi (uma volta completa ao redor do eixo z).
  • phi varia de 0 a pi (do polo norte ao polo sul).

Passo 4

A densidade de<a(x, y, z) em coordenadas esféricas fica mais simples. Sabemos que rho = raizx^2+y^2+z^2, então:
de<a(rho) = 1rho

Passo 5

Agora, vamos montar a integral para a massa M:
M = integral integral integral de<a(rho) , dV
Substituindo de<a(rho) e dV:
M = integral0^2pi integral0^pi integral1^2 1rho cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando:
M = integral0^2pi integral0^pi integral1^2 rho sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a rho:
integral1^2 rho , drho = [ rho^22 ]1^2 = 42 - 12 = 32

Passo 7

Agora, a integral fica:
M = integral0^2pi integral0^pi 32 sinphi , dphi , dtheta
Vamos integrar em relação a phi:
integral0^pi sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi = -(-1) - (-1) = 2

Passo 8

Substituindo de volta:
M = integral0^2pi 32 cdot 2 , dtheta = 3 integral0^2pi dtheta
Integrando em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Resposta

Portanto, a massa do sólido é:
M = 3 cdot 2pi = 6pi

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