3-(0,5 ponto) Calcule a energia cinética translacional média de uma molécula de gás ideal a uma temperatura de 45^{\circ} \mathrm{C}. (note que a resposta nāo depende da massa da molécula), Calcule a velocidade quadrática média das moléculas de oxigênio nessa temperatura. Dado: M_{O_{2}}=32,0 \times 10^{-3} \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~mol}}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura: 45^\circ\mathrm{C}.
    • Massa molar do oxigênio: M_{O_2}=32{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol} (peguei esse valor do enunciado).
    • Constantes que usarei (valores aceitos):
      • Constante de Boltzmann: k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
      • Constante universal dos gases: R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
      • Constante de Avogadro (se precisar): N_A=6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • O que o enunciado pede:
    1. Calcular a energia cinética translacional média de UMA molécula de gás ideal à temperatura dada (nota: a resposta não depende da massa da molécula).
    2. Calcular a velocidade quadrática média (ou velocidade RMS) das moléculas de O_2 nessa temperatura.

Passo 2

Converter a temperatura para kelvin — passo obrigatório em física estatística/termodinâmica.
  • A relação entre Celsius e Kelvin é \;T(\mathrm{K})=T(^{\circ}\mathrm{C})+273{,}15.
  • Assim, T = 45 + 273{,}15 = 318{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Fórmula da energia cinética translacional média e interpretação (aquela “a resposta não depende da massa”).
  • Teoria curta e amigável: na teoria cinética dos gases, a energia cinética translacional média de uma molécula (ou energia térmica por grau de liberdade) é proporcional à temperatura e independe da massa da molécula; para movimento tridimensional vale: \langle E_{\text{trans}}\rangle = \frac{3}{2}\,k_B\,T,onde:
    • \langle E_{\text{trans}}\rangle é a energia cinética translacional média por molécula (em joules),
    • k_B é a constante de Boltzmann (em \mathrm{J/K}),
    • T é a temperatura absoluta em kelvin.
  • Agora aplico os números: \langle E_{\text{trans}}\rangle = \frac{3}{2}\times\bigl(1{,}380649\times10^{-23}\bigr)\times 318{,}15.Primeiro calcule k_B T: k_B T = 1{,}380649\times10^{-23}\times 318{,}15 \approx 4{,}392535\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.Multiplicando por 3/2: \langle E_{\text{trans}}\rangle \approx 1{,}5\times 4{,}392535\times10^{-21} \approx 6{,}588802\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos): \langle E_{\text{trans}}\rangle \approx 6{,}59\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Fórmula da velocidade quadrática média (RMS) e explicação das variáveis.
  • Definição: a velocidade quadrática média (v RMS) é \;v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\langle v^2\rangle}.
  • Relação com temperatura para um gás ideal (por molécula de massa m): \langle E_{\text{trans}}\rangle = \tfrac{1}{2}m\langle v^2\rangle = \tfrac{3}{2}k_B Tdaí \langle v^2\rangle = \frac{3k_B T}{m},\qquad v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3k_B T}{m}}.
  • Como normalmente temos a massa molar M (em \mathrm{kg/mol}), é prático usar m=M/N_A e a constante dos gases R=N_A k_B. Isso dá a forma em termos de M: v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3R T}{M}},onde:
    • R é a constante dos gases (em \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
    • M é a massa molar (em \mathrm{kg/mol}),
    • T é a temperatura em kelvin.

Passo 5

Cálculo numérico da velocidade quadrática média para O_2.
  • Substituo R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, T=318{,}15\\ \mathrm{K} e M=32{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}: v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3\times 8{,}314462618 \times 318{,}15}{32{,}0\times10^{-3}}}.
  • Calcule o numerador: 3\times 8{,}314462618 \times 318{,}15 \approx 7\,935{,}73884575.
  • Dividindo por M: \frac{7\,935{,}73884575}{0{,}0320} \approx 247\,991{,}83893.
  • Raiz quadrada: v_{\mathrm{rms}} \approx \sqrt{247\,991{,}83893}\approx 498{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Arredondando de forma prática: v_{\mathrm{rms}}\approx 4,98\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{ou }498\\ \mathrm{m/s}).

Passo 6

Comentário adicional (cheque rápido usando m=M/N_A, só para firmar a intuição).
  • Se calcular o valor da massa por molécula: m=\frac{M}{N_A}=\frac{32{,}0\times10^{-3}}{6{,}02214076\times10^{23}}\approx 5{,}314\times10^{-26}\\ \mathrm{kg},e usar v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{3k_B T/m} obtém-se o mesmo valor numérico para v_{\mathrm{rms}}. Isso confirma que as formas estão corretas.

Resposta

\langle E_{\text{trans}}\rangle \approx 6{,}59\times10^{-21}\\ \mathrm{J}
\;v_{\mathrm{rms}}(O_2) \approx 4{,}98\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}

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