Prove que a função é descontinua no ponto a. Então determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Caso seja removível, redefina f(a) de tal modo que seja removida.
c) f(t)=ll9-t^2 & se t <= 2 3 t+2 & se 2<t ; a=2

Passo 1

O enunciado define a função
f(t)= 9 - t^2, & t <= 2, 3t + 2, & t > 2,
e pede para mostrar que ela é descontínua em a=2, classificar a descontinuidade (removível ou essencial) e, se for removível, propor uma redefinição de f(2). Vamos usar a definição de continuidade via limites laterais e lembrar que se
limtto a^-f(t)neqlimtto a^+f(t)
então f tem um “salto” em a (discontinuidade essencial).

Passo 2

Calculamos o limite pela esquerda em t=2. Para t<2 vale f(t)=9-t^2, logo
limtto2^-f(t) =limtto2^-(9-t^2) =9 - 2^2 =9 - 4 =5

Passo 3

Calculamos o limite pela direita em t=2. Para t>2 vale f(t)=3t+2, então
limtto2^+f(t) =limtto2^+(3t+2) =3cdot2 + 2 =6 + 2 =8

Passo 4

Como
limtto2^-f(t)=5
e
limtto2^+f(t)=8
são diferentes, o limite limtto2f(t) não existe e, portanto, f é descontínua em t=2. Além disso, há um salto finito entre 5 e 8, caracterizando uma descontinuidade essencial (ou de salto). Nesse caso não há redefinição de f(2) que faça os dois limites baterem, pois eles são intrinsecamente distintos.

Resposta

f é descontínua em t=2 e a descontinuidade é essencial (salto). Não é possível remover a descontinuidade por redefinição de f(2).

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