Prove que a função exponencial
, com
, é um isomorfismo do grupo aditivo
no grupo multiplicativo
.
Qual é o isomorfismo inverso?
Qual é o isomorfismo inverso?
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para provar que a função exponencial
, onde
, é um isomorfismo entre o grupo aditivo
e o grupo multiplicativo
. Para isso, precisamos entender o que é um isomorfismo de grupos e verificar que
satisfaz as propriedades necessárias. Também vamos encontrar a função inversa desse isomorfismo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um isomorfismo de grupos. Um isomorfismo é uma função bijetora (injeção e sobrejeção) que preserva a operação dos grupos. Isso significa que, para dois grupos
e
, uma função
é um isomorfismo se, para todos
,
No nosso caso,
com operação de adição, e
com operação de multiplicação.
Passo 3
Vamos verificar se
é uma função bijetora. Como
e
, a função exponencial é estritamente crescente ou decrescente e, portanto, é injetora. Além disso, para todo
, existe um
tal que
, então
é sobrejetora. Assim,
é bijetora.
Passo 4
Agora, vamos verificar a preservação da operação. Para quaisquer
,
Isso mostra que a operação de adição em
é preservada pela função
na multiplicação em
.
Passo 5
Como
é bijetora e preserva a operação, concluímos que
é um isomorfismo entre
e
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o isomorfismo inverso. Sabemos que
tem uma inversa porque é bijetora. Se
, então para encontrar
, resolvemos
:
Portanto, a função inversa é a função logarítmica na base
:
Resposta
O isomorfismo inverso é a função logarítmica na base
, ou seja,