Prove que a função exponencial f(x)=a^x, com 0, é um isomorfismo do grupo aditivo R no grupo multiplicativo R+^*.
Qual é o isomorfismo inverso?

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para provar que a função exponencial , onde , é um isomorfismo entre o grupo aditivo e o grupo multiplicativo . Para isso, precisamos entender o que é um isomorfismo de grupos e verificar que satisfaz as propriedades necessárias. Também vamos encontrar a função inversa desse isomorfismo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um isomorfismo de grupos. Um isomorfismo é uma função bijetora (injeção e sobrejeção) que preserva a operação dos grupos. Isso significa que, para dois grupos phi(x + y) = phi(x) cdot phi(y) e , uma função é um isomorfismo se, para todos ,
No nosso caso, com operação de adição, e com operação de multiplicação.

Passo 3

Vamos verificar se é uma função bijetora. Como e , a função exponencial é estritamente crescente ou decrescente e, portanto, é injetora. Além disso, para todo , existe um tal que , então é sobrejetora. Assim, é bijetora.

Passo 4

Agora, vamos verificar a preservação da operação. Para quaisquer f(x + y) = a^x + y = a^x cdot a^y = f(x) cdot f(y) ,
Isso mostra que a operação de adição em é preservada pela função na multiplicação em .

Passo 5

Como é bijetora e preserva a operação, concluímos que é um isomorfismo entre e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar o isomorfismo inverso. Sabemos que x = loga y tem uma inversa porque é bijetora. Se f^-1(y) = loga y , então para encontrar , resolvemos :
Portanto, a função inversa é a função logarítmica na base :

Resposta

O isomorfismo inverso é a função logarítmica na base f^-1(y) = loga y , ou seja,

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