Prove que se as funções f(z) e g(z) tem limites finito com z z0 (ou z infty), então lim (f(z)-g(z))=lim f(z)-lim g(z).

Passo 1

Resumo do enunciado e do que vamos usar: Queremos provar que, se limzto z0f(z)=L e limzto z0g(z)=M são finitos, então limzto z0l(f(z)-g(z)r)=L-M. O conteúdo principal é a definição epsilon- de de limite de função complexa. Para o caso ztoinfty usamos a definição análoga com R.

Passo 2

Definição de limite em um ponto: Como limzto z0f(z)=L, existe de0 tal que para todo z com 0<|z-z0| vale |f(z)-L|. Como limzto z0g(z)=M, existe de0 tal que para 0<|z-z0| temos |g(z)-M|.
Escolha do de e conclusão: Definimos de. Então, sempre que 0<|z-z0| se verificam simultaneamente |f(z)-L| e |g(z)-M|. Assim, usando desigualdade triangular, temos:
|(f(z)-g(z))-(L-M)|=|(f(z)-L)-(g(z)-M)|<=|f(z)-L|+|g(z)-M|
Portanto, por definição de limite, concluímos que limzto z0(f(z)-g(z))=L-M.

Passo 3

Caso ztoinfty: A prova é análoga trocando a condição 0<|z-z0| por |z|>R. Escolhemos R=max(R1,R2) a partir das definições de limite ao infinito de f e g, e a mesma estimativa vale.
Encerramento: Assim mostramos que a diferença de funções herda o limite como a diferença dos limites.

Resposta

lim (f(z)-g(z))=lim f(z)-lim g(z).

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