Prove que se as funções
e
tem limites finito com
(ou
, então
.
Passo 1
Resumo do enunciado e do que vamos usar: Queremos provar que, se
e
são finitos, então
. O conteúdo principal é a definição
-
de limite de função complexa. Para o caso
usamos a definição análoga com
.
Passo 2
Definição de limite em um ponto: Como
, existe
tal que para todo
com
vale
. Como
, existe
tal que para
temos
.
Escolha do e conclusão: Definimos
. Então, sempre que
se verificam simultaneamente
e
. Assim, usando desigualdade triangular, temos:
Escolha do
Portanto, por definição de limite, concluímos que
.
Passo 3
Caso
: A prova é análoga trocando a condição
por
. Escolhemos
a partir das definições de limite ao infinito de
e
, e a mesma estimativa vale.
Encerramento: Assim mostramos que a diferença de funções herda o limite como a diferença dos limites.
Encerramento: Assim mostramos que a diferença de funções herda o limite como a diferença dos limites.