Prove que a função
dada por
é uma função contínua (em todos os pontos de seu domínio).
Passo 1
Vamos mostrar que a função h definida por h(x)=1/x é contínua em cada ponto x₀≠0 usando a definição ε–δ de continuidade.
Passo 2
Seja x₀∈ℝ∖{0}. Queremos provar que para todo ε>0 existe δ>0 tal que sempre que |x−x₀|<δ e x≠0 temos |h(x)−h(x₀)|<ε.
Passo 3
Observe que para x≠0 e x₀≠0 vale
Passo 4
Como x₀≠0, podemos exigir também que |x−x₀|<|x₀|/2, o que implica |x| ≥ |x₀| - |x−x₀| > |x₀|/2. Então
Passo 5
Para tornar isso menor que ε basta escolher δ de modo que 2|x−x₀|/|x₀|² < ε. Assim seja
Passo 6
Então, sempre que 0<|x−x₀|<δ temos |h(x)−h(x₀)|<ε. Isso mostra que h é contínua em x₀. Como x₀ foi arbitrário em ℝ∖{0}, h é contínua em todo seu domínio.
Resposta
A função h(x)=1/x é contínua em todo ponto de seu domínio ℝ∖{0}.