Prove que a função h: R backslash0 R dada por h(x)=1x é uma função contínua (em todos os pontos de seu domínio).

Passo 1

Vamos mostrar que a função h definida por h(x)=1/x é contínua em cada ponto x₀≠0 usando a definição ε–δ de continuidade.

Passo 2

Seja x₀∈ℝ∖{0}. Queremos provar que para todo ε>0 existe δ>0 tal que sempre que |x−x₀|<δ e x≠0 temos |h(x)−h(x₀)|<ε.

Passo 3

Observe que para x≠0 e x₀≠0 vale
|h(x)-h(x₀)| = l|1x - 1x₀r| = |x₀ - x||x|,|x₀|

Passo 4

Como x₀≠0, podemos exigir também que |x−x₀|<|x₀|/2, o que implica |x| ≥ |x₀| - |x−x₀| > |x₀|/2. Então
|h(x)-h(x₀)| < |x−x₀|(|x₀|/2),|x₀| = 2|x₀|^2|x−x₀|

Passo 5

Para tornar isso menor que ε basta escolher δ de modo que 2|x−x₀|/|x₀|² < ε. Assim seja
δ = minl(tfrac|x₀|2,;tfracε,|x₀|^22r)

Passo 6

Então, sempre que 0<|x−x₀|<δ temos |h(x)−h(x₀)|<ε. Isso mostra que h é contínua em x₀. Como x₀ foi arbitrário em ℝ∖{0}, h é contínua em todo seu domínio.

Resposta

A função h(x)=1/x é contínua em todo ponto de seu domínio ℝ∖{0}.

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