Seja f: R R a função dada por
f(x)=lc x, & se x in R backslash Q 0, & se x in Q
Prove que f é contínua em x=0. (Observe que x=0 é o único ponto onde f é contínua.)

Passo 1

A função é definida por
f(x)=x,&se xnotinQ0,&se xinQ
Queremos mostrar que ela é contínua em 0 usando a definição de continuidade em um ponto.

Passo 2

Primeiro, notamos que
f(0)=0
pois 0 é racional. Pela definição, devemos provar que para todo varepsilon>0 existe de0 tal que
|x-0|

Passo 3

Escolhemos de. Então, se |x|, temos dois casos:
  • Se xinQ, então f(x)=0 e
|f(x)-f(0)|=|0-0|=0
- Se xnotinQ, então f(x)=x e
|f(x)-f(0)|=|x|

Passo 4

Em ambos os casos concluímos que sempre que |x| vale |f(x)-f(0)|. Logo, por definição, f é contínua em x=0.

Resposta

A função f é contínua em x=0.

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