Seja
a função dada por
Prove que
é contínua em
. (Observe que
é o único ponto onde
é contínua.)
Passo 1
A função é definida por
Queremos mostrar que ela é contínua em 0 usando a definição de continuidade em um ponto.
Passo 2
Primeiro, notamos que
pois 0 é racional. Pela definição, devemos provar que para todo
Passo 3
Escolhemos
. Então, se
, temos dois casos:
- Se
, então e
- Se
Passo 4
Em ambos os casos concluímos que sempre que
vale
. Logo, por definição,
é contínua em
.
Resposta
A função f é contínua em x=0.