Calcule o Rotacional e o divergente do campo vetorial abaixo. Diga se é conservativo:
Passo 1
O exercício pede para calcular o divergente e o rotacional do campo vetorial
e decidir se ele é conservativo. Esse é um problema de cálculo vetorial: vamos usar as definições de divergente, de rotacional e o critério de que um campo é conservativo se e somente se
num domínio simplesmente conexo.
Passo 2
Para achar o divergente, lembramos que
Calculando cada derivada:
Somando, obtemos
Calculando cada derivada:
Somando, obtemos
Passo 3
Para o rotacional, usamos
Computando:
⇒ primeiro componente = 0;
⇒ segundo componente =
;
⇒ terceiro componente =
.
Logo,
Computando:
Logo,
Passo 4
Para ver se
é conservativo, lembramos que em um domínio simplesmente conexo (como
), basta checar se o rotacional é nulo. Aqui
, então
não é conservativo.
Resposta
Divergente:
. Rotacional:
. O campo não é conservativo.