Calcule o Rotacional e o divergente do campo vetorial abaixo. Diga se é conservativo:
F(x, y, z)=(x y^2 z^3, 2 x^2 y z^3, 3 x^2 y^2 z^2)

Passo 1

O exercício pede para calcular o divergente e o rotacional do campo vetorial vec F(x,y,z)=(P,Q,R)=(x y^2 z^3,;2x^2 y z^3,;3x^2 y^2 z^2) e decidir se ele é conservativo. Esse é um problema de cálculo vetorial: vamos usar as definições de divergente, de rotacional e o critério de que um campo é conservativo se e somente se nablatimesvec F=0 num domínio simplesmente conexo.

Passo 2

Para achar o divergente, lembramos que
partial Ppartial x=y^2 z^3,partial Qpartial y=2x^2 z^3,partial Rpartial z=6x^2 y^2 z
Calculando cada derivada:
nablacdotvec F= y^2 z^3+2x^2 z^3+6x^2 y^2 z
Somando, obtemos

Passo 3

Para o rotacional, usamos
partial Rpartial y=6x^2 y z^2,partial Qpartial z=6x^2 y z^2
Computando:
partial Ppartial z=3x y^2 z^2,partial Rpartial x=6x y^2 z^2 ⇒ primeiro componente = 0;
-3x y^2 z^2 ⇒ segundo componente = partial Qpartial x=4x y z^3,partial Ppartial y=2x y z^3;
2x y z^3 ⇒ terceiro componente = nablatimesvec F=(0,,-3x y^2 z^2,;2x y z^3) .
Logo,

Passo 4

Para ver se vec F é conservativo, lembramos que em um domínio simplesmente conexo (como R^3), basta checar se o rotacional é nulo. Aqui nablatimesvec Fneq(0,0,0), então vec F não é conservativo.

Resposta

Divergente: y^2 z^3 + 2x^2 z^3 + 6x^2 y^2 z. Rotacional: (0,,-3x y^2 z^2,;2x y z^3). O campo não é conservativo.

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