Calcule a integral de linha \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde:
\vec{F}=\left(x^{2}+x y\right) \hat{i}+\left(y^{2}-x y\right) \hat{j} e C é o segmento de reta de (0,0) até (2,2) e de (2,2) até (2,4).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}
onde \vec{F}=(x^{2}+xy)\,\hat{i}+(y^{2}-xy)\,\hat{j} e C é composto por dois segmentos: de (0,0) a (2,2) e de (2,2) a (2,4). O conteúdo é integração de campos vetoriais por parametrização de curvas.

Passo 2

Para o primeiro segmento C_{1}, que vai de (0,0) a (2,2), usamos a parametrização
\vec{r}_{1}(t)=(t,t),\quad 0\le t\le 2,
de modo que
d\vec{r}_{1}=(1,1)\,dt.
Substituindo em \vec{F},
\vec{F}(\vec{r}_{1}(t))=\bigl(t^{2}+t\cdot t,\;t^{2}-t\cdot t\bigr)=(2t^{2},0),
logo o produto escalar é
\vec{F}\bigl(\vec{r}_{1}(t)\bigr)\cdot d\vec{r}_{1} =2t^{2}\cdot1+0\cdot1=2t^{2}\,dt.

Passo 3

Calculamos
\int_{C_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{0}^{2}2t^{2}\,dt =2\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{2} =2\cdot\frac{8}{3} =\frac{16}{3}.

Passo 4

Para o segundo segmento C_{2}, de (2,2) a (2,4), escolhemos
\vec{r}_{2}(s)=(2,s),\quad 2\le s\le 4,
e
d\vec{r}_{2}=(0,1)\,ds.
Então
\vec{F}(\vec{r}_{2}(s)) =\bigl(2^{2}+2s,\;s^{2}-2s\bigr) =(4+2s,\;s^{2}-2s),
e o produto escalar é
\vec{F}\bigl(\vec{r}_{2}(s)\bigr)\cdot d\vec{r}_{2} =(4+2s)\cdot0+(s^{2}-2s)\cdot1 =s^{2}-2s.

Passo 5

Integramos em s:
\int_{C_{2}}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{2}^{4}(s^{2}-2s)\,ds =\left[\frac{s^{3}}{3}-s^{2}\right]_{2}^{4} =\Bigl(\tfrac{64}{3}-16\Bigr)-\Bigl(\tfrac{8}{3}-4\Bigr) =\frac{16}{3}-\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) =\frac{20}{3}.

Passo 6

A integral total é a soma das partes:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{C_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r} +\int_{C_{2}}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\frac{16}{3}+\frac{20}{3} =12.

Resposta

12

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