Problema 70 Construa os gráficos das funções racionais fracionárias (hipérboles):
y=11-x

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função racional fracionária (hipérbole)
y = 11 - x
Vamos usar os seguintes ingredientes para desenhar o gráfico: domínio, assíntotas (vertical e horizontal), sinais e interceptos, comportamento em cada ramo e alguns pontos de apoio.

Passo 2

Determinar o domínio de y = 11 - x.
O denominador não pode ser zero, ou seja
1 - x neq 0 Longrightarrow x neq 1
Portanto o domínio é Rsetminus1.

Passo 3

Identificar as assíntotas.
1. Assíntota vertical: ocorre onde xto1, pois ytopminfty. Logo
x = 1
é uma assíntota vertical.
2. Assíntota horizontal: ao fazermos xtopminfty, temos
y = 11 - x;approx;0
Logo
y = 0
é a assíntota horizontal.

Passo 4

Analisar intercepto com o eixo y.
Colocando x=0,
y(0) = 11 - 0 = 1
Então há um ponto no eixo y: (0,1).

Passo 5

Verificar intercepto com o eixo x.
Para y=0 resolveríamos 1/(1 - x)=0, o que não tem solução (o numerador é constante igual a 1).
Logo não há intercepto em x.

Passo 6

Determinar o sinal e monotonicidade em cada ramo.
  • Para x<1, temos 1 - x>0 e, portanto, y>0.
  • Para x>1, temos 1 - x<0 e, portanto, y<0.
    Derivada:
y' = ddxl((1 - x)^-1r) = 1(1 - x)^2>0forall xneq1
Isto significa que em cada intervalo (-infty,1) e (1,infty) a função é estritamente crescente.

Passo 7

Escolher pontos de apoio em cada ramo para esboçar a curva:
  • Para x<1:
    ;x=-1Rightarrow y=tfrac11-(-1)=tfrac12,; ;x=0Rightarrow y=1; (já achamos),
    ;xto1^-Rightarrow yto+infty
  • Para x>1:
    ;x=2Rightarrow y=tfrac11-2=-1,; ;x=3Rightarrow y=tfrac11-3=-tfrac12,; ;xto1^+Rightarrow yto-infty

Resposta

O gráfico de y=11-x é uma hipérbole com:
bul<=t assíntota vertical x=1,
bul<=t assíntota horizontal y=0,
bul<=t ramo em x<1 (onde y>0) crescente partindo de yto0^+ em xto-infty até yto+infty em xto1^-, passando por (0,1),
bul<=t ramo em x>1 (onde y<0) crescente partindo de yto-infty em xto1^+ até yto0^- em xto+infty.

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