Problema 70 Construa os gráficos das funções racionais fracionárias (hipérboles):
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico da função racional fracionária (hipérbole)
Vamos usar os seguintes ingredientes para desenhar o gráfico: domínio, assíntotas (vertical e horizontal), sinais e interceptos, comportamento em cada ramo e alguns pontos de apoio.
Passo 2
Determinar o domínio de
.
O denominador não pode ser zero, ou seja
O denominador não pode ser zero, ou seja
Portanto o domínio é
.
Passo 3
Identificar as assíntotas.
. Assíntota vertical: ocorre onde
, pois
. Logo
é uma assíntota vertical.
. Assíntota horizontal: ao fazermos
, temos
Logo
é a assíntota horizontal.
Passo 4
Analisar intercepto com o eixo
.
Colocando ,
Colocando
Então há um ponto no eixo
:
.
Passo 5
Verificar intercepto com o eixo
.
Para resolveríamos
, o que não tem solução (o numerador é constante igual a
).
Logo não há intercepto em .
Para
Logo não há intercepto em
Passo 6
Determinar o sinal e monotonicidade em cada ramo.
- Para
, temos e, portanto, . - Para
, temos e, portanto, .
Derivada:
Isto significa que em cada intervalo
e
a função é estritamente crescente.
Passo 7
Escolher pontos de apoio em cada ramo para esboçar a curva:
- Para
:
(já achamos),
- Para
:
Resposta
O gráfico de
é uma hipérbole com:
assíntota vertical
,
assíntota horizontal
,
ramo em
(onde
) crescente partindo de
em
até
em
, passando por
,
ramo em
(onde
) crescente partindo de
em
até
em
.