Prove que as funções abaixo são diferenciáveis no ponto dado e encontre a sua linearização.
f(x, y)=1+\ln (x y-5), P=(2,3);

Passo 1

O enunciado pede para provar que
f(x,y)=1+\ln(xy-5)
é diferenciável em P=(2,3) e, em seguida, encontrar sua linearização em torno de P. Vamos usar o fato de que composição de funções C^\infty é C^\infty e calcular as derivadas parciais para montar o plano tangente (linearização).

Passo 2

Primeiro, note que em P=(2,3) temos
xy-5 = 2\cdot3 -5 = 1 > 0,
logo P está no domínio de \ln. Como as operações de produto, subtração e \ln são todas C^\infty no ponto em que xy-5>0, a composição f(x,y) é diferenciável em P.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais gerais de f. Para (x,y) com xy-5>0:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{d}{dx}\bigl[1+\ln(xy-5)\bigr] = \frac{1}{xy-5}\,\frac{\partial}{\partial x}(xy-5) = \frac{y}{xy-5},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{1}{xy-5}\,\frac{\partial}{\partial y}(xy-5) = \frac{x}{xy-5}.

Passo 4

Avaliamo essas derivadas em P=(2,3) e também f(2,3):
\frac{\partial f}{\partial x}(2,3) = \frac{3}{2\cdot3-5} = \frac{3}{1} = 3, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(2,3) = \frac{2}{1} = 2,
f(2,3) = 1 + \ln(2\cdot3-5) = 1 + \ln(1) = 1.

Passo 5

A linearização (plano tangente) de f em P é dado por
L(x,y) = f(2,3) + \frac{\partial f}{\partial x}(2,3)\,(x-2) + \frac{\partial f}{\partial y}(2,3)\,(y-3).
Substituindo os valores encontrados:
L(x,y) = 1 + 3\,(x-2) + 2\,(y-3) = 3x + 2y - 11.

Resposta

A função é diferenciável em P=(2,3) e sua linearização é
\boxed{L(x,y)=3x+2y-11.}

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