Prove que as funções abaixo são diferenciáveis no ponto dado e encontre a sua linearização.
;
Passo 1
O enunciado pede para provar que
é diferenciável em
e, em seguida, encontrar sua linearização em torno de
. Vamos usar o fato de que composição de funções
é
e calcular as derivadas parciais para montar o plano tangente (linearização).
Passo 2
Primeiro, note que em
temos
logo
está no domínio de
. Como as operações de produto, subtração e
são todas
no ponto em que
, a composição
é diferenciável em
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais gerais de
. Para
com
:
Passo 4
Avaliamo essas derivadas em
e também
:
Passo 5
A linearização (plano tangente) de
em
é dado por
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A função é diferenciável em
e sua linearização é