Mostre que se uma função f: \mathrm{R}^{2} \rightarrow \mathrm{R} é diferenciável em um ponto ( a, b ) então f é contínua em (a, b).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma função f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável em um ponto (a,b), então ela é contínua em (a,b). Para isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade em duas variáveis e extrair dela que \lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b).

Passo 2

Pela definição, f é diferenciável em (a,b) se existem números f_x(a,b), f_y(a,b) e uma função resto r tais que, defindo
\Delta x = x-a,\quad \Delta y = y-b,
valha
f(a+\Delta x,\;b+\Delta y)-f(a,b) = f_x(a,b)\,\Delta x + f_y(a,b)\,\Delta y \;+\; r(\Delta x,\Delta y)
e
\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{r(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=0.

Passo 3

Note que a parte linear é
L(\Delta x,\Delta y) = f_x(a,b)\,\Delta x + f_y(a,b)\,\Delta y,
e, portanto, usando desigualdade de Cauchy,
\bigl|L(\Delta x,\Delta y)\bigr| \le \bigl|f_x(a,b)\bigr|\,|\Delta x| + \bigl|f_y(a,b)\bigr|\,|\Delta y| \le M\,\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2},
onde definimos M=|f_x(a,b)|+|f_y(a,b)|. Assim,
\bigl|f(a+\Delta x,b+\Delta y)-f(a,b)\bigr| \le M\,\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \;+\;\bigl|r(\Delta x,\Delta y)\bigr|.

Passo 4

Como \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\to0 e r(\Delta x,\Delta y)/\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\to0 quando (\Delta x,\Delta y)\to(0,0), segue que ambos M\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} e \bigl|r(\Delta x,\Delta y)\bigr| tendem a zero. Logo
\lim_{(x,y)\to(a,b)}\bigl|f(x,y)-f(a,b)\bigr|=0,
o que é exatamente a continuidade de f em (a,b).

Resposta

A função f é contínua em (a,b).

Exercícios relacionados