Mostre que se uma função f: \mathrm{R}^{2} \rightarrow \mathrm{R} é diferenciável em um ponto ( a, b ) então f é contínua em (a, b).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma função f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável em um ponto (a,b), então ela é contínua em (a,b). Para isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade em duas variáveis e extrair dela que \lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b).
Passo 2
Pela definição, f é diferenciável em (a,b) se existem números f_x(a,b), f_y(a,b) e uma função resto r tais que, defindo
\Delta x = x-a,\quad \Delta y = y-b,
valha
f(a+\Delta x,\;b+\Delta y)-f(a,b) = f_x(a,b)\,\Delta x + f_y(a,b)\,\Delta y \;+\; r(\Delta x,\Delta y)
Como \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\to0 e r(\Delta x,\Delta y)/\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\to0 quando (\Delta x,\Delta y)\to(0,0), segue que ambos M\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} e \bigl|r(\Delta x,\Delta y)\bigr| tendem a zero. Logo