Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo.
f(x, y)=\sqrt{\ln (y)};

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
f(x,y)=\sqrt{\ln(y)}.
Note que não há dependência em x, e vamos usar regra da cadeia e regra do poder para funções compostas.

Passo 2

Como f não depende de x, a derivada parcial em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}=0.

Passo 3

Para a derivada parcial em relação a y, escrevemos
f(x,y)=\bigl(\ln(y)\bigr)^{\tfrac12}
e aplicamos a regra da cadeia e do poder:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac12\bigl(\ln(y)\bigr)^{-\tfrac12}\cdot\frac{1}{y} =\frac{1}{2\,y\,\sqrt{\ln(y)}}.

Passo 4

As derivadas mistas e a segunda em x envolvem apenas a derivada de 0, logo
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=0, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} =0, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} =0.

Passo 5

Para a segunda derivada em y, partimos de
f_{y}=\frac{1}{2\,y\,(\ln(y))^{1/2}}
e diferenciamos em y usando produto (ou quociente):
f_{yy} =\frac{d}{dy}\Bigl[\tfrac12\,y^{-1}(\ln(y))^{-1/2}\Bigr] =-\frac{2\ln(y)+1}{4\,y^{2}\,(\ln(y))^{3/2}}.

Resposta

\displaystyle f_x=0
\displaystyle f_y=\frac{1}{2\,y\,\sqrt{\ln(y)}}
\displaystyle f_{xx}=0
\displaystyle f_{xy}=0
\displaystyle f_{yx}=0
\displaystyle f_{yy}=-\frac{2\ln(y)+1}{4\,y^{2}\,(\ln(y))^{3/2}}

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