Prove que
A função
é contínua em todo ponto
.
A função
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função f(z)=√z é contínua em todo ponto z do seu domínio (z≥0). Vamos usar a definição ε–δ de continuidade em cada ponto z₀≥0.
Passo 2
Lembrando a definição: f é contínua em z₀ se, para todo ε>0, existe δ>0 tal que, sempre que |z−z₀|<δ (e z no domínio), então |√z−√{z₀}|<ε.
Passo 3
Agora trate primeiro o caso z₀>0. Note que
Como √z≥0, temos √z+√{z₀}≥√{z₀}. Para garantir que z permaneça no domínio, basta escolher δ≤z₀. Então, se 0<|z−z₀|<min(z₀,ε√{z₀}), obtemos
Logo, basta tomar δ=min(z₀,ε√{z₀}).
Passo 4
Agora o caso z₀=0. Temos para z≥0:
Para que √z<ε basta z<ε². Então, se |z−0|<δ e δ=ε², garantimos √z=|√z−0|<ε.
Passo 5
Assim, em qualquer ponto z₀≥0 se encontra um δ>0 (dependente de ε e de z₀) que satisfaz a definição de continuidade. Portanto, f(z)=√z é contínua em todo ponto do seu domínio.
Resposta
A função w=√z é contínua em todo ponto z≥0 do seu domínio.