Prove que se G contém um subgrupo não-trivial de índice 3, então G não é simples.

Passo 1

O enunciado afirma que G é um grupo que contém um subgrupo próprio não trivial H com índice [G : H]=3. Precisamos mostrar que isso força a existência de um subgrupo normal próprio não trivial em G, ou seja, provar que G não é simples. Vamos usar a ação de G sobre as classes laterais de H e o lema do homomorfismo para obter esse subgrupo normal.

Passo 2

Definimos uma ação de G sobre o conjunto das classes laterais gHmid gin G, que tem exatamente 3 elementos. A cada gin G associamos a permutação
varphi(g)colon xHtoxH, varphi(g)(xH)=gxH
Verifica-se facilmente que varphicolon Gto S3 é um homomorfismo de grupos.

Passo 3

Aplicando o Primeiro Teorema de Isomorfismo a varphi, obtemos
kervarphi;triang<=<=ft;G e G/kervarphi;simeq;varphi(G);subseteq;S3
Como varphi(G) age por permutar 3 pontos de forma transitiva, o seu tamanho é |varphi(G)|=3 ou |varphi(G)|=6. Logo o índice
[G : kervarphi]=|varphi(G)|in3,6,
o que mostra que kervarphi é um subgrupo normal próprio (índice maior que 1) de G.

Passo 4

Falta ver que kervarphi não é trivial. Mas como kervarphisubseteq H e H é não trivial, kervarphi herda algum elemento não identidade de H. Assim kervarphi é um subgrupo normal próprio e não trivial de G.

Resposta

Portanto, G possui um subgrupo normal próprio não trivial ( kervarphi), logo G não é simples.

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