Prove que se
contém um subgrupo não-trivial de índice 3, então
não é simples.
Passo 1
O enunciado afirma que
é um grupo que contém um subgrupo próprio não trivial
com índice
. Precisamos mostrar que isso força a existência de um subgrupo normal próprio não trivial em
, ou seja, provar que
não é simples. Vamos usar a ação de
sobre as classes laterais de
e o lema do homomorfismo para obter esse subgrupo normal.
Passo 2
Definimos uma ação de
sobre o conjunto das classes laterais
, que tem exatamente 3 elementos. A cada
associamos a permutação
Verifica-se facilmente que
é um homomorfismo de grupos.
Passo 3
Aplicando o Primeiro Teorema de Isomorfismo a
, obtemos
Como
age por permutar 3 pontos de forma transitiva, o seu tamanho é
ou
. Logo o índice
o que mostra que
é um subgrupo normal próprio (índice maior que 1) de
.
Passo 4
Falta ver que
não é trivial. Mas como
e
é não trivial,
herda algum elemento não identidade de
. Assim
é um subgrupo normal próprio e não trivial de
.
Resposta
Portanto,
possui um subgrupo normal próprio não trivial (
), logo
não é simples.