Prove que se
é um grupo de ordem 105, então
tem um 5-subgrupo de Sylow normal e um 7 -subgrupo de Sylow normal.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num grupo
de ordem
os subgrupos de Sylow de ordem
e de ordem
são únicos (e portanto normais). Para isso vamos usar o Teorema de Sylow (que dá condições sobre o número de Sylow
-subgrupos) e argumentos de contagem de elementos e de quociente.
Passo 2
Pelo Teorema de Sylow, o número
de subgrupos de Sylow de ordem
satisfaz
logo as únicas possibilidades são
Analogamente, o número
de subgrupos de Sylow de ordem
satisfaz
de onde
Se assumíssemos
e
, então teríamos
Sylow-5, cada um com
elementos de ordem
, e
Sylow-7, cada um com
elementos de ordem
. Isso daria no mínimo
elementos em
, absurdo. Logo não podemos ter simultaneamente
e
. Portanto pelo menos um entre
e
é igual a
.
Passo 3
Suponha primeiro que
. Então o único Sylow-5-subgrupo, digamos
, é normal em
. Considere o quociente
que tem ordem
No grupo
, o número de Sylow-7-subgrupos satisfaz
logo
. Isso significa que em
há um único Sylow-7, que é normal em
. Se chamarmos de
esse Sylow-7 em
, então
é um subgrupo de
que contém
e
logo
e o Sylow-7 de
é justamente
. Como
é normal em
, sua pré‐imagem
é normal em
. Concluímos que nesse caso ambos Sylow-5 (
) e Sylow-7 (
) são normais em
.
Passo 4
Agora suponha que
. Então o único Sylow-7-subgrupo, digamos
, é normal em
. Considere o quociente
que tem ordem
No grupo
, o número de Sylow-5-subgrupos satisfaz
logo
. Isso garante que em
há um único Sylow-5, que é normal em
. Seja
esse Sylow-5 em
. Então
é subgrupo de
com
e
normal em
implica
normal em
. Assim chegamos de novo à situação em que ambos Sylow-5 (
) e Sylow-7 (
) são normais em
.
Resposta
Em qualquer caso,
possui um único Sylow-5-subgrupo e um único Sylow-7-subgrupo, ambos normais em
.