Prove que se G é um grupo de ordem 105, então G tem um 5-subgrupo de Sylow normal e um 7 -subgrupo de Sylow normal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num grupo G de ordem
|G| = 105 = 3 cdot 5 cdot 7,
os subgrupos de Sylow de ordem 5 e de ordem 7 são únicos (e portanto normais). Para isso vamos usar o Teorema de Sylow (que dá condições sobre o número de Sylow p-subgrupos) e argumentos de contagem de elementos e de quociente.

Passo 2

Pelo Teorema de Sylow, o número n5 de subgrupos de Sylow de ordem 5 satisfaz
n5 equiv 1 pmod5, n5 mid 1055=21,
logo as únicas possibilidades são
n5 = 1 ou n5=21
Analogamente, o número n7 de subgrupos de Sylow de ordem 7 satisfaz
n7 equiv 1 pmod7, n7 mid 1057=15,
de onde
n7 = 1 ou n7=15
Se assumíssemos n5=21 e n7=15, então teríamos 21 Sylow-5, cada um com 4 elementos de ordem 5, e 15 Sylow-7, cada um com 6 elementos de ordem 7. Isso daria no mínimo
21cdot 4 + 15cdot 6 + 1 = 84 + 90 +1 = 175 >105
elementos em G, absurdo. Logo não podemos ter simultaneamente n5=21 e n7=15. Portanto pelo menos um entre n5 e n7 é igual a 1.

Passo 3

Suponha primeiro que n5=1. Então o único Sylow-5-subgrupo, digamos P5, é normal em G. Considere o quociente
H = G / P5,
que tem ordem
|H| = |G||P5| = 1055 = 21 = 3cdot 7
No grupo H, o número de Sylow-7-subgrupos satisfaz
n7(H)equiv1pmod7, n7(H)mid3,
logo n7(H)=1. Isso significa que em H há um único Sylow-7, que é normal em H. Se chamarmos de Q/P5 esse Sylow-7 em H, então Q é um subgrupo de G que contém P5 e
|Q/P5|=7,
logo |Q|=35 e o Sylow-7 de G é justamente Q. Como Q/P5 é normal em H, sua pré‐imagem Q é normal em G. Concluímos que nesse caso ambos Sylow-5 ( P5) e Sylow-7 ( Q) são normais em G.

Passo 4

Agora suponha que n7=1. Então o único Sylow-7-subgrupo, digamos P7, é normal em G. Considere o quociente
K = G / P7,
que tem ordem
|K| = 1057 = 15 = 3cdot 5
No grupo K, o número de Sylow-5-subgrupos satisfaz
n5(K)equiv1pmod5, n5(K)mid3,
logo n5(K)=1. Isso garante que em K há um único Sylow-5, que é normal em K. Seja R/P7 esse Sylow-5 em K. Então R é subgrupo de G com
|R/P7|=5Longrightarrow |R|=35,
e R/P7 normal em K implica R normal em G. Assim chegamos de novo à situação em que ambos Sylow-5 ( R) e Sylow-7 ( P7) são normais em G.

Resposta

Em qualquer caso, G possui um único Sylow-5-subgrupo e um único Sylow-7-subgrupo, ambos normais em G.

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