Prove que qualquer grupo de ordem 588 é solúvel, dado que qualquer grupo de ordem 12 é solúvel.
Passo 1
O enunciado quer que mostremos que todo grupo
de ordem
é solúvel, sabendo que já é dado que todo grupo de ordem
é solúvel. Vamos usar o Teorema de Sylow para obter um subgrupo normal de ordem
, depois ver que esse subgrupo e o quociente são solúveis, e então aplicar que extensão de solúveis é solúvel.
Passo 2
Fatoramos
Pelo Teorema de Sylow, o número de subgrupos de Sylow–7, digamos
, satisfaz
Os divisores de
são
, e o único que é
módulo
é
. Logo
Passo 3
Como
, o único subgrupo de Sylow–7 é único e, portanto, é normal em
. Denotemos
Passo 4
Sabemos dois fatos fundamentais:
- Todo
-grupo é solúvel. Em particular, é solúvel. - O quociente
tem ordem
e por hipótese todo grupo de ordem
é solúvel; logo
é solúvel.
Passo 5
Existe um resultado geral de teoria de grupos que diz: se
é normal e tanto
quanto
são solúveis, então
também é solúvel.
Resposta
Como encontramos
com
solúvel e
solúvel, concluímos que
é solúvel.