Prove que qualquer grupo de ordem 588 é solúvel, dado que qualquer grupo de ordem 12 é solúvel.

Passo 1

O enunciado quer que mostremos que todo grupo G de ordem
lvert Grvert = 588
é solúvel, sabendo que já é dado que todo grupo de ordem
12
é solúvel. Vamos usar o Teorema de Sylow para obter um subgrupo normal de ordem 7^2=49, depois ver que esse subgrupo e o quociente são solúveis, e então aplicar que extensão de solúveis é solúvel.

Passo 2

Fatoramos
588 = 2^2 cdot 3 cdot 7^2
Pelo Teorema de Sylow, o número de subgrupos de Sylow–7, digamos n7, satisfaz
n7 equiv 1 pmod7 e n7 mid 2^2cdot3 = 12
Os divisores de 12 são 1,2,3,4,6,12, e o único que é 1 módulo 7 é 1. Logo
n7 = 1

Passo 3

Como n7=1, o único subgrupo de Sylow–7 é único e, portanto, é normal em G. Denotemos
P triang<=<=ft G e lvert Prvert = 7^2 = 49

Passo 4

Sabemos dois fatos fundamentais:
  1. Todo p-grupo é solúvel. Em particular, P é solúvel.
  2. O quociente
G/P
tem ordem
58849 = 12,
e por hipótese todo grupo de ordem 12 é solúvel; logo G/P é solúvel.

Passo 5

Existe um resultado geral de teoria de grupos que diz: se Ntriang<=<=ft G é normal e tanto N quanto G/N são solúveis, então G também é solúvel.

Resposta

Como encontramos P triang<=<=ft G com P solúvel e G/P solúvel, concluímos que G é solúvel.

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