Prove que não existe grupo simples de ordem 96.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que todo grupo
com
não pode ser simples. Aqui vamos usar o Teorema de Sylow, em particular para os primos
e
, e um argumento de ação de conjugação num conjunto finito para produzir um subgrupo normal não trivial.
Passo 2
Pela ordem de
temos
Pelo Teorema de Sylow, o número
de 2-Sylow–subgrupos satisfaz
Como os divisores de
são
ou
, e apenas eles podem ser congruentes a
módulo 2, obtemos
Passo 3
Se
, então há um único subgrupo de Sylow–2 em
, e subgrupos de Sylow são todos conjugados entre si, logo esse único 2-Sylow é estável por conjugação. Isso significa que é um subgrupo normal próprio de
. Assim,
não é simples.
Passo 4
Se
, etiquetemos esses três 2-Sylow–subgrupos por
Então
age por conjugação em
: para
e
definimos
Isso gera um homomorfismo de grupos
O núcleo
é um subgrupo normal de
. Se
fosse trivial,
seria injetora e
se embutiria em
, forçando
a dividir
, o que é impossível pois
. Logo
, ou seja, há um subgrupo normal próprio não trivial em
.
Passo 5
Nos dois casos (
ou
) acabamos de encontrar um subgrupo normal próprio e não trivial em
. Portanto não existe grupo simples de ordem
.
Resposta
Não existe grupo simples de ordem
.