Prove que não existe grupo simples de ordem 96.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que todo grupo G com lvert Grvert=96 não pode ser simples. Aqui vamos usar o Teorema de Sylow, em particular para os primos 2 e 3, e um argumento de ação de conjugação num conjunto finito para produzir um subgrupo normal não trivial.

Passo 2

Pela ordem de G temos
lvert Grvert = 96 = 2^5cdot3
Pelo Teorema de Sylow, o número n2 de 2-Sylow–subgrupos satisfaz
n2 mid 3 e n2 equiv 1 pmod2
Como os divisores de 3 são 1 ou 3, e apenas eles podem ser congruentes a 1 módulo 2, obtemos
n2 in 1,,3

Passo 3

Se n2 = 1, então há um único subgrupo de Sylow–2 em G, e subgrupos de Sylow são todos conjugados entre si, logo esse único 2-Sylow é estável por conjugação. Isso significa que é um subgrupo normal próprio de G. Assim, G não é simples.

Passo 4

Se n2 = 3, etiquetemos esses três 2-Sylow–subgrupos por
P = P1,,P2,,P3
Então G age por conjugação em P: para gin G e PiinP definimos
gcolon Pi longmapsto gPi g^-1in P
Isso gera um homomorfismo de grupos
phicolon G ;longrightarrow; S3
O núcleo kerphi é um subgrupo normal de G. Se kerphi fosse trivial, phi seria injetora e G se embutiria em S3, forçando lvert Grvert a dividir lvert S3rvert=6, o que é impossível pois lvert Grvert=96. Logo kerphineqe, ou seja, há um subgrupo normal próprio não trivial em G.

Passo 5

Nos dois casos ( n2=1 ou n2=3) acabamos de encontrar um subgrupo normal próprio e não trivial em G. Portanto não existe grupo simples de ordem 96.

Resposta

Não existe grupo simples de ordem 96.

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