Seja um sistema linear governado pelos problemas de valor inicial a segui. Encontre a função de transferencia H(s) para o sistema e a função de resposta ao impulso h(t). Em seguida, dĂȘ uma fĂłrmula para a solução do problema de valor inicial.
ly^prime prime-y^prime-6 y=g(t) ; y(0)=1 ; y^prime(0)=8

Passo 1

Estamos diante de uma EDO linear de segunda ordem com entrada g(t) e condições iniciais y(0)=1, y′(0)=8. O objetivo é achar a função de transferência H(s), a resposta ao impulso h(t) e uma fórmula geral para y(t) usando convolução e a parte homogenea. Vamos usar transformadas de Laplace para isso.

Passo 2

Para obter a função de transferência, aplicamos a transformada de Laplace ao lado a lado da equação assumindo condições iniciais nulas (y(0)=0, y′(0)=0). Temos:
Ly'' - y' - 6y = (s^2 - s - 6)Y(s), e G(s)=Lg(t). Logo,
(s^2 - s - 6)Y(s) = G(s), de onde
H(s)=Y(s)G(s) = 1s^2 - s - 6 = 1(s-3)(s+2)

Passo 3

Agora vamos achar h(t) = L^-1H(s). Fazendo frações parciais:
1(s-3)(s+2) = As-3 + Bs+2, com
A+B=0, 2A-3B=1 Rightarrow A=tfrac15, B=-tfrac15 Assim
H(s)=1/5s-3 - 1/5s+2 e
h(t)=15e^3t - 15e^-2t, t>=0

Passo 4

Para a parte homogenea (zero-input) do problema original (g(t)=0) resolvemos
y'' - y' -6y=0 com y(0)=1, y’(0)=8. A solução geral é y_h(t)=C_1e{3t}+C_2e{-2t}. Impondo as condições iniciais:
C1+C2=1, 3C1-2C2=8 resulta em C_1=2, C_2=-1. Logo
y_0(t)=2e{3t}-e{-2t}.

Passo 5

A solução completa do PVI é a soma da resposta zero-input e da resposta zero-state por convolução. Assim:
y(t)=y0(t)+integral0^t h(t-tau),g(tau),dtau ou explicitando:
y(t)=2e^3t-e^-2t+integral0^tl(15e^3(t-tau)-15e^-2(t-tau)r)g(tau),dtau

Resposta

Função de transferência: H(s)=1/(s^2-s-6). Resposta ao impulso: h(t)=\tfrac{1}{5}e{3t}-\tfrac{1}{5}e{-2t}. Solução do PVI:
y(t)=2e^3t-e^-2t+integral0^tl(tfrac15e^3(t-tau)-tfrac15e^-2(t-tau)r)g(tau),dtau

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