Seja um sistema linear governado pelos problemas de valor inicial a segui. Encontre a função de transferencia
para o sistema e a função de resposta ao impulso
. Em seguida, dĂȘ uma fĂłrmula para a solução do problema de valor inicial.
Passo 1
Estamos diante de uma EDO linear de segunda ordem com entrada g(t) e condições iniciais y(0)=1, y′(0)=8. O objetivo é achar a função de transferência H(s), a resposta ao impulso h(t) e uma fórmula geral para y(t) usando convolução e a parte homogenea. Vamos usar transformadas de Laplace para isso.
Passo 2
Para obter a função de transferência, aplicamos a transformada de Laplace ao lado a lado da equação assumindo condições iniciais nulas (y(0)=0, y′(0)=0). Temos:
Passo 3
Agora vamos achar h(t) =
. Fazendo frações parciais:
Passo 4
Para a parte homogenea (zero-input) do problema original (g(t)=0) resolvemos
y_0(t)=2e{3t}-e{-2t}.
Passo 5
A solução completa do PVI é a soma da resposta zero-input e da resposta zero-state por convolução. Assim:
Resposta
Função de transferência: H(s)=1/(s^2-s-6). Resposta ao impulso: h(t)=\tfrac{1}{5}e{3t}-\tfrac{1}{5}e{-2t}. Solução do PVI: