1. Prove: se a_{1} \geq \cdots \geq a_{n} \geq \cdots e \sum a_{n} converge então \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência não-negativa e decrescente
a_{1}\ge a_{2}\ge \cdots\ge a_{n}\ge\cdots\ge0
tal que a série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} converge.
Queremos mostrar que
\lim_{n\to\infty}n\,a_{n}=0.
O conteúdo usado será: monotonia de a_{n}, estimativas por somas parciais e o fato de que, se uma série converge, seu resto (tail) tende a zero.

Passo 2

Pela monotonia, para cada inteiro k\ge1 vale
a_{k+1}\ge a_{k+2}\ge\cdots\ge a_{2k},
logo cada um dos k termos a_{k+1},\dots,a_{2k} é ao menos a_{2k}. Assim
\sum_{n=k+1}^{2k}a_{n}\;\ge\;k\,a_{2k}.
Como a soma dos termos de k+1 em diante é maior ou igual à soma apenas até 2k, obtemos
k\,a_{2k}\;\le\;\sum_{n=k+1}^{2k}a_{n}\;\le\;\sum_{n=k+1}^{\infty}a_{n}.

Passo 3

A convergência de \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} implica que o resto
\displaystyle \sum_{n=k+1}^{\infty}a_{n} tende a zero quando k\to\infty.
Portanto, da desigualdade anterior segue
0\;\le\;k\,a_{2k}\;\le\;\sum_{n=k+1}^{\infty}a_{n} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{k\to\infty}k\,a_{2k}=0.

Passo 4

Agora queremos estender a conclusão de 2k para qualquer n. Dado n, escolha m tal que
2^{m}\le n<2^{m+1}.
Pela monotonia, a_{n}\le a_{2^{m}}, logo
n\,a_{n}\;\le\;2^{m+1}\,a_{2^{m}} \;=\;2\;\bigl(2^{m}\,a_{2^{m}}\bigr).
Como já vimos que 2^{m}a_{2^{m}}\to0 quando m\to\infty, segue que n\,a_{n}\to0 quando n\to\infty.

Resposta

\lim_{n\to\infty}n\,a_{n}=0.

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