- Prove: se
e
converge então
.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência não-negativa e decrescente
tal que a série
converge.
Queremos mostrar que
Queremos mostrar que
O conteúdo usado será: monotonia de
, estimativas por somas parciais e o fato de que, se uma série converge, seu resto (tail) tende a zero.
Passo 2
Pela monotonia, para cada inteiro
vale
logo cada um dos
termos
é ao menos
. Assim
Como a soma dos termos de
em diante é maior ou igual à soma apenas até
, obtemos
Passo 3
A convergência de
implica que o resto
tende a zero quando
.
Portanto, da desigualdade anterior segue
Portanto, da desigualdade anterior segue
Passo 4
Agora queremos estender a conclusão de
para qualquer
. Dado
, escolha
tal que
Pela monotonia,
, logo
Como já vimos que
quando
, segue que
quando
.