Prove que se
é compacto então os seguintes conjuntos também são compactos:
a)
;
a)
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço compacto (por exemplo, um subconjunto compacto de
) e nos pede para mostrar que
é também compacto. O conteúdo que vamos usar é: produto de espaços compactos é compacto e imagem contínua de compacto é compacto.
Passo 2
Primeiro notemos que o produto cartesiano
é compacto. De fato, em topologia geral (ou no caso métrico) vale o teorema de Tychonoff (ou o caso finito dele): produto de dois espaços compactos é compacto. Como
é compacto, concluímos que
também é compacto.
Passo 3
Definimos a aplicação
Sabemos que a soma de vetores é uma operação contínua em
. Logo
é uma função contínua de
em
.
Passo 4
Pelo teorema de que a imagem de um espaço compacto por aplicação contínua é compacta, temos
é compacto.