Prove que se X é compacto então os seguintes conjuntos também são compactos:
a) S=\{x+y ; x, y \in X\};

Passo 1

O enunciado diz que X é um espaço compacto (por exemplo, um subconjunto compacto de \mathbb{R}^n) e nos pede para mostrar que
S \;=\;\{\,x+y \mid x,y\in X\}
é também compacto. O conteúdo que vamos usar é: produto de espaços compactos é compacto e imagem contínua de compacto é compacto.

Passo 2

Primeiro notemos que o produto cartesiano
X\times X
é compacto. De fato, em topologia geral (ou no caso métrico) vale o teorema de Tychonoff (ou o caso finito dele): produto de dois espaços compactos é compacto. Como X é compacto, concluímos que X\times X também é compacto.

Passo 3

Definimos a aplicação
f \colon X\times X \;\longrightarrow\; X+X\subseteq \mathbb{R}^n, \qquad f(x,y)=x+y.
Sabemos que a soma de vetores é uma operação contínua em \mathbb{R}^n. Logo f é uma função contínua de X\times X em \mathbb{R}^n.

Passo 4

Pelo teorema de que a imagem de um espaço compacto por aplicação contínua é compacta, temos
f\bigl(X\times X\bigr) \;=\; \{\,x+y \mid x,y\in X\} \;=\; S
é compacto.

Resposta

S é compacto.

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