Prove que se X é compacto então os seguintes conjuntos também são compactos:
c) P=\{x \cdot y ; x, y \in X\};

Passo 1

O enunciado afirma que X\subseteq\mathbb{R} é compacto e pede para mostrar que
P=\{\,x\cdot y : x,y\in X\}
é compacto.
Conteúdo que vamos usar:
  1. O produto de dois espaços compactos é compacto.
  2. A imagem de um espaço compacto por uma função contínua é compacta.

Passo 2

Como X é compacto em \mathbb{R}, pelo Teorema de Tychonoff (ou, em \mathbb{R}^2, pelo critério de Heine–Borel), o produto
X\times X
é compacto em \mathbb{R}^2.

Passo 3

Definimos a função de multiplicação
m\colon X\times X \longrightarrow \mathbb{R}, \quad m(x,y)=x\cdot y.
Sabemos que, em \mathbb{R}^2 com a topologia usual, a multiplicação é contínua (é um polinômio em x e y). Logo, m é contínua em X\times X.

Passo 4

Como X\times X é compacto e m é contínua, a imagem
m(X\times X) \;=\;\{\,m(x,y):x,y\in X\} \;=\;P
é compacta, por ser imagem contínua de conjunto compacto.

Resposta

P é compacto.

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