Prove que se
é compacto então os seguintes conjuntos também são compactos:
c)
;
c)
Passo 1
O enunciado afirma que
é compacto e pede para mostrar que
é compacto.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- O produto de dois espaços compactos é compacto.
- A imagem de um espaço compacto por uma função contínua é compacta.
Passo 2
Como
é compacto em
, pelo Teorema de Tychonoff (ou, em
, pelo critério de Heine–Borel), o produto
é compacto em
.
Passo 3
Definimos a função de multiplicação
Sabemos que, em
com a topologia usual, a multiplicação é contínua (é um polinômio em
e
). Logo,
é contínua em
.
Passo 4
Como
é compacto e
é contínua, a imagem
é compacta, por ser imagem contínua de conjunto compacto.