Prove que se
é compacto então os seguintes conjuntos também são compactos:
b)
;
b)
Passo 1
O enunciado afirma que
é compacto (num espaço topológico onde faz sentido falar em soma e diferença, por exemplo
) e pede para mostrar que
é também compacto.
Conteúdo usado:
– Produto de espaços compactos é compacto.
– Imagem contínua de conjunto compacto é compacto.
Conteúdo usado:
– Produto de espaços compactos é compacto.
– Imagem contínua de conjunto compacto é compacto.
Passo 2
Como
é compacto, o produto cartesiano
é compacto, por ser produto de dois espaços compactos (teorema de Tychonoff em espaços métricos ou em espaços de Hausdorff).
Passo 3
Definimos a função de subtração
Sabemos que a operação
é contínua em
, logo
é contínua quando restrita a
.
Passo 4
Como
é compacto e
é contínua, a imagem
é compacta. Mas claramente