Prove que se X é compacto então os seguintes conjuntos também são compactos:
b) D=\{x-y ; x, y \in X\};

Passo 1

O enunciado afirma que X é compacto (num espaço topológico onde faz sentido falar em soma e diferença, por exemplo \mathbb{R}^n) e pede para mostrar que
D = \{\,x - y \mid x,y\in X\}
é também compacto.
Conteúdo usado:
– Produto de espaços compactos é compacto.
– Imagem contínua de conjunto compacto é compacto.

Passo 2

Como X é compacto, o produto cartesiano
X\times X
é compacto, por ser produto de dois espaços compactos (teorema de Tychonoff em espaços métricos ou em espaços de Hausdorff).

Passo 3

Definimos a função de subtração
f : X\times X \longrightarrow \mathbb{R}^n,\qquad f(x,y)=x-y.
Sabemos que a operação (x,y)\mapsto x-y é contínua em \mathbb{R}^n, logo f é contínua quando restrita a X\times X.

Passo 4

Como X\times X é compacto e f é contínua, a imagem
f(X\times X)
é compacta. Mas claramente
f(X\times X)=\{\,x-y\mid x,y\in X\}=D.

Resposta

D é compacto.

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