- Se
é absolutamente convergente prove que
converge.
- Se
e
convergem, prove que
converge absolutamente.
- Se
é convergente e
, então a série
é absolutamente convergente para todo
e
são absolutamente convergentes para todo
.
Passo 1
O enunciado pede três provas de convergência absoluta usando testes de comparação e desigualdades básicas.
No item 46, parte-se de absolutamente convergente (ou seja,
) e quer-se mostrar que
converge.
No item 47, sabe-se que e
convergem, e deve-se provar que
converge absolutamente.
No item 48, parte-se de convergente com
e quer-se concluir que
converge absolutamente para todo
e que
,
também convergem absolutamente para todo
.
No item 46, parte-se de
No item 47, sabe-se que
No item 48, parte-se de
Passo 2
(46) Como
converge, tem-se
e daí existe
tal que
para todo
. Para
vale
Dos termos iniciais
obtemos uma soma finita, e da cauda
Pelo teste da comparação,
converge, logo
converge.
Passo 3
(47) Usamos a desigualdade de dois quadrados: para todo
,
Somando-se em
obtemos
Logo
converge absolutamente.
Passo 4
(48) Como
e
, para todo
tem-se
, de modo que
Pelo teste da comparação,
converge absolutamente para todo
.
De modo análogo, como e
, vale
De modo análogo, como
e portanto
e
convergem absolutamente para todo
.
Resposta
(46)
converge.
(47) converge absolutamente.
(48) é absolutamente convergente para todo
e
,
são absolutamente convergentes para todo
.
(47)
(48)