1. Prove que se a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3} \geq \cdots \operatorname{com} a_{j} \geq 0 \forall j \in \mathbb{N} e \sum a_{n} converge, então \lim _{n \rightarrow+\infty} n a_{n}= 0.
  2. Se \sum a_{n} é absolutamente convergente prove que \sum a_{n}^{2} converge.

Passo 1

O enunciado tem dois itens de séries infinitas. O conteúdo envolve critérios de convergência de séries: o critério de Cauchy para séries de termos não negativos e o teste de comparação para séries de termos não negativos.
Item 45: temos \{a_n\} não crescente, com a_n\ge0 e \sum_{n=1}^\infty a_n converge. Mostraremos que \lim_{n\to\infty}n\,a_n=0.
Item 46: sabemos que \sum_{n=1}^\infty a_n é absolutamente convergente, e vamos provar que \sum_{n=1}^\infty a_n^2 também converge.

Passo 2

Para o item 45, usemos o critério de Cauchy para séries de termos não negativos: como \sum a_n converge, dado \varepsilon>0 existe N tal que, para todo p\ge1,
\sum_{k=N+1}^{N+p}a_k<\varepsilon.
Escolhendo p=N, obtemos
\sum_{k=N+1}^{2N}a_k<\varepsilon.
Mas como a_k é não crescente, para k=N+1,\dots,2N vale
a_k\ge a_{2N},
e há exatamente N termos nesse somatório. Logo
N\,a_{2N}\le\sum_{k=N+1}^{2N}a_k<\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad N\,a_{2N}<\varepsilon.
Isso prova que N\,a_{2N}\to0. Como \{n\,a_n\} é limitada pela subsequência par e n\,a_n\to0 em subíndices pares, conclui-se \lim_{n\to\infty}n\,a_n=0.

Passo 3

Para o item 46, com \sum a_n absolutamente convergente temos \sum|a_n|<\infty, o que implica a_n\to0. Assim, existe N tal que para n\ge N vale |a_n|<1. Então para n\ge N
|a_n|^2\le|a_n|,
e como \sum_{n=1}^N a_n^2 é soma finita, a comparação com \sum|a_n| garante que \sum_{n=1}^\infty a_n^2 converge.

Resposta

(45) \displaystyle \lim_{n\to\infty}n\,a_n=0.
(46) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^2 converge.

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