Se \sum a_{n}^{2} e \sum b_{n}^{2} convergem, prove que \sum a_{n} b_{n} converge absolutamente.
48) Se \sum a_{n} é convergente e a_{n} \geq 0, \forall n \in \mathbb{N}, então a série \sum a_{n} x^{n} é absolutamente convergente para todo x \in[-1,1] e \sum a_{n} \operatorname{sen}(n x), \sum a_{n} \cos (n x) são absolutamente convergentes para todo x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O primeiro problema pede que, dadas as séries \sum a_{n}^{2} e \sum b_{n}^{2} convergentes, provemos que \sum a_{n}b_{n} converge absolutamente. O conteúdo principal aqui é usar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para séries.

Passo 2

Para cada N\in\mathbb{N}, considere a soma parcial
S_N \;=\;\sum_{n=1}^{N}\bigl|a_{n}b_{n}\bigr|.
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz para somas finitas,
\sum_{n=1}^{N}\bigl|a_{n}b_{n}\bigr| \;\le\; \sqrt{\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{2}}\;\sqrt{\sum_{n=1}^{N}b_{n}^{2}}.

Passo 3

Como \sum a_{n}^{2} e \sum b_{n}^{2} convergem, os dois radicais \sqrt{\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{2}} e \sqrt{\sum_{n=1}^{N}b_{n}^{2}} têm limite finito quando N\to\infty. Assim (S_N) é monótona
não decrescente e limitada por um número finito, logo \sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}b_{n}| converge. Portanto \sum a_{n}b_{n} converge absolutamente.

Passo 4

O segundo problema diz: se \sum a_{n} converge com a_{n}\ge0,
então mostrar que \sum a_{n}x^{n} converge absolutamente em x\in[-1,1] e que \sum a_{n}\sin(nx) e \sum a_{n}\cos(nx) convergem absolutamente para todo x\in\mathbb{R}. O conteúdo é o
teste da comparação simples.

Passo 5

Para \,x\in[-1,1],
\bigl|a_{n}x^{n}\bigr| \;=\;a_{n}\,\lvert x\rvert^{n}\;\le\;a_{n}.
Como \sum a_{n} converge e a_{n}\ge0, a comparação \sum |a_{n}x^{n}|\le\sum a_{n} mostra que \sum a_{n}x^{n} converge absolutamente em [-1,1].

Passo 6

Para qualquer x\in\mathbb{R}, vale
\bigl|a_{n}\sin(nx)\bigr|\le a_{n} \quad\text{e}\quad \bigl|a_{n}\cos(nx)\bigr|\le a_{n}.
Pela mesma comparação com \sum a_{n}, as séries \sum a_{n}\sin(nx) e \sum a_{n}\cos(nx) convergem absolutamente.

Resposta

  1. A série \displaystyle\sum a_{n}b_{n} converge absolutamente.
  2. Se \sum a_{n} converge com a_{n}\ge0, então
    \displaystyle\sum a_{n}x^{n} converge absolutamente para todo x\in[-1,1].
    \displaystyle\sum a_{n}\sin(nx) e \displaystyle\sum a_{n}\cos(nx) convergem absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.

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