- Prove que se
e
converge, então
0.
- Se
é absolutamente convergente prove que
converge.
Passo 1
O enunciado tem dois itens de séries infinitas. O conteúdo envolve critérios de convergência de séries: o critério de Cauchy para séries de termos não negativos e o teste de comparação para séries de termos não negativos.
Item 45: temos não crescente, com
e
converge. Mostraremos que
.
Item 46: sabemos que é absolutamente convergente, e vamos provar que
também converge.
Item 45: temos
Item 46: sabemos que
Passo 2
Para o item 45, usemos o critério de Cauchy para séries de termos não negativos: como
converge, dado
existe
tal que, para todo
,
Escolhendo
, obtemos
Mas como
é não crescente, para
vale
e há exatamente
termos nesse somatório. Logo
Isso prova que
. Como
é limitada pela subsequência par e
em subíndices pares, conclui-se
.
Passo 3
Para o item 46, com
absolutamente convergente temos
, o que implica
. Assim, existe
tal que para
vale
. Então para
e como
é soma finita, a comparação com
garante que
converge.
Resposta
(45)
(46) converge.
(46)