1. Suponha que 0<a<b<1. Mostre que a série a+b+a^{2}+b^{2}+a^{3}+b^{3}+\cdots é convergente usando os seguintes critérios:
    a) Teste de Cauchy;
    b) Teste de d’Alembert.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
a + b + a^2 + b^2 + a^3 + b^3 + \cdots
é convergente, assumindo 0<a<b<1.
Conteúdo: testes de convergência de séries numéricas.
  • Teste de Cauchy (ou teste da raiz): se
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\lvert u_n\rvert} < 1,
então \sum u_n converge absolutamente.
  • Teste de d’Alembert (ou teste da razão): se
\ell = \lim_{n\to\infty} \bigl|\tfrac{u_{n+1}}{u_n}\bigr| < 1,
então \sum u_n converge absolutamente.

Passo 2

Defina o termo geral
u_1 = a,\;u_2 = b,\;u_3 = a^2,\;u_4 = b^2,\;\dots,\;u_{2k-1}=a^k,\;u_{2k}=b^k.
Para aplicar o teste da raiz, calcule as raízes de cada subsequência:
  • Se n=2k-1,
\sqrt[2k-1]{u_{2k-1}} = \sqrt[2k-1]{a^k} = a^{\,k/(2k-1)} \;\xrightarrow[k\to\infty]{}\; a^{1/2}.
  • Se n=2k,
\sqrt[2k]{u_{2k}} = \sqrt[2k]{b^k} = b^{\,k/(2k)} = b^{1/2}.
Logo
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \max\bigl(a^{1/2},\,b^{1/2}\bigr) = b^{1/2}.
Como b^{1/2}<1, o teste de Cauchy garante a convergência da série.

Passo 3

Para usar o teste da razão, observe que a razão direta entre termos vizinhos oscila e não tende a algo menor que 1 (de fato, alterna valores que crescem). Em vez disso, agrupe em pares definindo
v_k = u_{2k-1}+u_{2k} = a^k + b^k.
Então a série original é \sum_{k=1}^\infty v_k. Calcule
\frac{v_{k+1}}{v_k} = \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{a^k+b^k} = \frac{a\cdot a^k + b\cdot b^k}{a^k+b^k} = \frac{a + b\,(b/a)^k}{1 + (b/a)^k}.
Como b/a>1, (b/a)^k\to\infty e portanto
\lim_{k\to\infty}\frac{v_{k+1}}{v_k} = b < 1.
Pelo teste de d’Alembert, \sum v_k converge. Assim a série original também converge.

Resposta

A série é convergente tanto pelo teste de Cauchy (raiz) quanto pelo teste de d’Alembert (razão).

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