Suponha que 0<a<b<1. Mostre que a série a+b+a^{2}+b^{2}+a^{3}+b^{3}+\cdots é convergente usando os seguintes critérios:
a) Teste de Cauchy;
b) Teste de d’Alembert.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
a + b + a^2 + b^2 + a^3 + b^3 + \cdots
é convergente, assumindo 0<a<b<1.
Conteúdo: testes de convergência de séries numéricas.
Teste de Cauchy (ou teste da raiz): se
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\lvert u_n\rvert} < 1,
Como b^{1/2}<1, o teste de Cauchy garante a convergência da série.
Passo 3
Para usar o teste da razão, observe que a razão direta entre termos vizinhos oscila e não tende a algo menor que 1 (de fato, alterna valores que crescem). Em vez disso, agrupe em pares definindo
v_k = u_{2k-1}+u_{2k} = a^k + b^k.
Então a série original é \sum_{k=1}^\infty v_k. Calcule