a) Prove que 7 é gerador do grupo Z26^times
b) Determine a quantidade de garadores possui o grupo Z26^times
c) Determine o subgrupo de ordem-3 do grupo Z26^times

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, estamos trabalhando com grupos em matemática, especificamente com o grupo multiplicativo de inteiros módulo 26, que é representado por Z26^times. Esse grupo contém todos os números de 1 a 25 que são coprimos com 26, ou seja, que não têm nenhum divisor comum com 26 além de 1. Para resolver as três partes do exercício, vamos precisar entender conceitos como geradores de grupos, quantidade de geradores e subgrupos dentro desse grupo.

Passo 2

Parte a) Provar que 7 é gerador do grupo Z26^times
Primeiro, precisamos entender o que é um gerador. Um elemento g de um grupo é chamado de gerador se, ao se multiplicar g por si mesmo várias vezes (ou elevar g a potências sucessivas), conseguimos obter todos os elementos do grupo. No caso de Z26^times, que tem 12 elementos, queremos mostrar que, a partir de 7, podemos gerar todos esses 12 elementos.
Para isso, vamos calcular as potências de 7 módulo 26 até que possamos ver se todas as classes residuais aparecem.

Passo 3

Vamos calcular as potências de 7 módulo 26:
  1. 7^1 mod 26 = 7
  2. 7^2 = 49 mod 26 = 23
  3. 7^3 = 7 times 23 = 161 mod 26 = 5
  4. 7^4 = 7 times 5 = 35 mod 26 = 9
  5. 7^5 = 7 times 9 = 63 mod 26 = 11
  6. 7^6 = 7 times 11 = 77 mod 26 = 25
  7. 7^7 = 7 times 25 = 175 mod 26 = 19
  8. 7^8 = 7 times 19 = 133 mod 26 = 3
  9. 7^9 = 7 times 3 = 21 mod 26 = 21
  10. 7^10 = 7 times 21 = 147 mod 26 = 17
  11. 7^11 = 7 times 17 = 119 mod 26 = 15
  12. 7^12 = 7 times 15 = 105 mod 26 = 1

Passo 4

Observando os resultados, vemos que chegamos a 1 em 7^12. Além disso, as potências anteriores geraram os seguintes elementos: 7, 23, 5, 9, 11, 25, 19, 3, 21, 17, 15, e finalmente 1. Esses são exatamente os 12 elementos de Z26^times. Portanto, conseguimos gerar todos os elementos do grupo a partir de 7.

Passo 5

Como conseguimos gerar todos os elementos do grupo multiplicativo Z26^times usando poderes de 7, isso significa que 7 é um gerador do grupo.

Resposta

a) Sim, 7 é gerador do grupo Z26^times, pois suas potências geram todos os elementos do grupo.

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