a) Prove que
é gerador do grupo
b) Determine a quantidade de garadores possui o grupo
c) Determine o subgrupo de ordem-3 do grupo
b) Determine a quantidade de garadores possui o grupo
c) Determine o subgrupo de ordem-3 do grupo
Passo 1
Beleza, vamos lá! Neste exercício, estamos trabalhando com grupos em matemática, especificamente com o grupo multiplicativo de inteiros módulo 26, que é representado por
. Esse grupo contém todos os números de 1 a 25 que são coprimos com 26, ou seja, que não têm nenhum divisor comum com 26 além de 1. Para resolver as três partes do exercício, vamos precisar entender conceitos como geradores de grupos, quantidade de geradores e subgrupos dentro desse grupo.
Passo 2
Parte a) Provar que
é gerador do grupo
Primeiro, precisamos entender o que é um gerador. Um elemento
de um grupo é chamado de gerador se, ao se multiplicar
por si mesmo várias vezes (ou elevar
a potências sucessivas), conseguimos obter todos os elementos do grupo. No caso de
, que tem 12 elementos, queremos mostrar que, a partir de
, podemos gerar todos esses 12 elementos.
Para isso, vamos calcular as potências de 7 módulo 26 até que possamos ver se todas as classes residuais aparecem.
Passo 3
Vamos calcular as potências de 7 módulo 26:
Passo 4
Observando os resultados, vemos que chegamos a 1 em
. Além disso, as potências anteriores geraram os seguintes elementos: 7, 23, 5, 9, 11, 25, 19, 3, 21, 17, 15, e finalmente 1. Esses são exatamente os 12 elementos de
. Portanto, conseguimos gerar todos os elementos do grupo a partir de
.
Passo 5
Como conseguimos gerar todos os elementos do grupo multiplicativo
usando poderes de 7, isso significa que
é um gerador do grupo.
Resposta
a) Sim,
é gerador do grupo
, pois suas potências geram todos os elementos do grupo.