Seja ( G, cdot ) um grupo cíclico de ordem 12, gerado por a.
a) Determine todos os geradores de(G, cdot)
b) Determine o subgrupo de (G, cdot) de ordem 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre grupos cíclicos, que são um tipo de grupo matemático com uma estrutura bem legal. Aqui, temos um grupo $ G $ com 12 elementos, e ele é gerado por um elemento chamado $ a $. Vamos precisar entender como encontrar os geradores desse grupo e também identificar um subgrupo com 6 elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um gerador de um grupo cíclico. Em um grupo cíclico $ (G, \cdot) $ gerado por $ a $, todo elemento do grupo pode ser expresso como uma potência de $ a $. Ou seja, $ G = { e, a, a^2, \dots, a^{11} } $, onde $ e $ é a identidade.
Um gerador de $ G $ é um elemento que, quando você toma todas as suas potências, gera todo o grupo. Para encontrar todos os geradores, precisamos identificar quais potências de $ a $ realmente conseguem gerar todo o grupo $ G $.

Passo 3

A chave para encontrar os geradores está no número de ordem dos elementos. Em um grupo cíclico de ordem $ n $, um elemento $ a^k $ é gerador se e somente se $ k $ for coprimo com $ n $. Isso significa que $ k $ e $ n $ não têm nenhum divisor comum além de 1.
No nosso caso, $ n = 12 $. Precisamos encontrar todos os $ k $ entre 1 e 11 que são coprimos com 12.

Passo 4

Vamos listar os números de 1 a 11 e ver quais são coprimos com 12:
  • 1: Coprimo com 12
  • 2: Não é coprimo (compartilham o divisor 2)
  • 3: Não é coprimo (divisor 3)
  • 4: Não é coprimo (divisor 4 e 2)
  • 5: Coprimo com 12
  • 6: Não é coprimo (divisor 6, 2 e 3)
  • 7: Coprimo com 12
  • 8: Não é coprimo (divisor 4 e 2)
  • 9: Não é coprimo (divisor 3)
  • 10: Não é coprimo (divisor 2)
  • 11: Coprimo com 12
Então, os valores de $ k $ que são coprimos com 12 são 1, 5, 7 e 11.

Passo 5

Agora, sabemos que os geradores de $ G $ são $ a^1 $, $ a^5 $, $ a^7 $ e $ a^{11} $. Isso porque esses elementos têm ordem 12 e, portanto, quando tomamos todas as suas potências, regeneram todo o grupo.

Passo 6

Agora, para a parte b) do exercício, precisamos encontrar o subgrupo de $ G $ que tem ordem 6. Em grupos cíclicos, os subgrupos também são cíclicos e sua ordem deve dividir a ordem do grupo principal.
Como $ 6 $ divide $ 12 $, existe um subgrupo de ordem 6 em $ G $. Esse subgrupo é gerado por $ a^{12/6} = a^2 $.

Passo 7

Então, o subgrupo de ordem 6 é:
lang<= a^2 rang<= = e, a^2, a^4, a^6, a^8, a^10
Esse conjunto contém todos os elementos gerados por $ a^2 $ até que retorne à identidade $ e $.

Resposta

a) Os geradores de $ G $ são $ a $, $ a^5 $, $ a^7 $ e $ a^{11} $.
b) O subgrupo de $ G $ de ordem 6 é $ \langle a^2 \rangle = { e, a^2, a^4, a^6, a^8, a^{10} } $.

Exercícios relacionados