Seja
um grupo abeliano com operação * elemento neutro
. Se
e
são elementos de
tais que
tem ordem 15 e
tem ordem 28, determine o grupo quociente
, onde
é o subgrupo gerado por
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo abeliano $ G $ com uma operação * e um elemento neutro $ e $. Dois elementos desse grupo, $ a $ e $ b $, têm ordens 15 e 28, respectivamente. A pergunta é para determinar o grupo quociente $ G / (\langle a \rangle \cap \langle b \rangle) $, onde $ \langle g \rangle $ representa o subgrupo gerado pelo elemento $ g $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a ordem de um elemento. A ordem de um elemento $ g $ em um grupo é o menor número positivo $ n $ tal que $ g^n = e $, onde $ e $ é o elemento neutro. Então, para $ a $, temos $ a^{15} = e $ e para $ b $, $ b^{28} = e $.
Passo 3
Agora, vamos identificar os subgrupos gerados por $ a $ e $ b $. O subgrupo gerado por $ a $, $ \langle a \rangle $, consiste em todos os poderes de $ a $:
Já $ \langle b \rangle $ é:
Passo 4
O próximo passo é encontrar a interseção desses dois subgrupos, $ \langle a \rangle \cap \langle b \rangle $. Em um grupo abeliano, a interseção de dois subgrupos gerados por elementos de ordens $ m $ e $ n $ é um subgrupo cujo gerador tem ordem igual ao máximo divisor comum (mdc) de $ m $ e $ n $.
Neste caso:
Isso significa que:
Ou seja, a interseção é apenas o subgrupo trivial que contém apenas o elemento neutro.
Passo 5
Finalmente, precisamos determinar o grupo quociente $ G / (\langle a \rangle \cap \langle b \rangle) $. Sabendo que $ \langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \langle e \rangle $, o grupo quociente simplifica para:
Mas qualquer grupo quociente por seu subgrupo trivial é isomorfo ao próprio grupo. Portanto:
Resposta
O grupo quociente $ G / (\langle a \rangle \cap \langle b \rangle) $ é isomorfo a $ G $.