a) Prove que 3 é gerador de Z34^*. ( 1,0 ponto)
b) Determine os elementos do grupo quociente Z34^* /lang<=13rang<=. (1,0 ponto)
Sugestão: Observe que 13=(3)^4.

Passo 1

O enunciado pede para (a) mostrar que 3 gera todo o grupo Z34^* de ordem varphi(34)=16, e (b) listar os cosets do subgrupo gerado por 13. Vamos usar teoria de ordem de elemento e de grupo quociente.

Passo 2

Primeiro calculamos varphi(34). Como 34=2cdot17 com 2 e 17 primos distintos, temos
varphi(34)=varphi(2),varphi(17)=1cdot16=16

Passo 3

Para ver que 3 tem ordem 16, calculamos suas potências relevantes em Z34:
3^2=9, 3^4=(3^2)^2=9^2=81equiv13, 3^8=13^2=169equiv33, 3^16=(3^8)^2=33^2=1089equiv1
Nenhuma potência própria de 16 (i.e. 2,4 ou 8) dá 1, logo a ordem de 3 é 16 e, portanto, 3 gera Z34^*.

Passo 4

Como sugestão mostrou-se que 13=(3)^4. Logo o subgrupo lang<=13rang<= tem ordem
$$\frac{16}{\gcd(16,4)}=\frac{16}{4}=4
16gcd(16,4)=164=4 ã
{,\overline{30}=\overline{1},;\overline{34}=\overline{13},;\overline{38}=\overline{33},;\overline{3{12}}=\overline{21}}\
={\overline{1},\overline{13},\overline{33},\overline{21}$$.

Passo 5

Os cosets de lang<=13rang<= em Z34^* são obtidos multiplicando um representante de cada classe por lang<=13rang<=. Como 3 gera o grupo, escolhemos os representantes 3^k para k=0,1,2,3. Assim os quatro cosets são
lang<=13rang<=, 3,lang<=13rang<=, 3^2,lang<=13rang<=, 3^3,lang<=13rang<=

Passo 6

Em particular podemos escrever
Z34^*/lang<=13rang<==lang<=13rang<=,;3,lang<=13rang<=,;9,lang<=13rang<=,;27,lang<=13rang<=

Resposta

Z34^*/lang<=13rang<==lang<=13rang<=,;3,lang<=13rang<=,;9,lang<=13rang<=,;27,lang<=13rang<=.

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