a) Prove que é gerador de . ( 1,0 ponto)
b) Determine os elementos do grupo quociente . (1,0 ponto)
Sugestão: Observe que 13=(3)^4.
Passo 1
O enunciado pede para (a) mostrar que 3 gera todo o grupo Z34^* de ordem varphi(34)=16, e (b) listar os cosets do subgrupo gerado por 13. Vamos usar teoria de ordem de elemento e de grupo quociente.
Passo 2
Primeiro calculamos varphi(34). Como 34=2cdot17 com 2 e 17 primos distintos, temos
varphi(34)=varphi(2),varphi(17)=1cdot16=16
Passo 3
Para ver que 3 tem ordem 16, calculamos suas potências relevantes em Z34:
Os cosets de lang<=13rang<= em Z34^* são obtidos multiplicando um representante de cada classe por lang<=13rang<=. Como 3 gera o grupo, escolhemos os representantes 3^k para k=0,1,2,3. Assim os quatro cosets são