Prove que o gradiente de pressão não é suficiente para que haja fluxo.

Passo 1

O enunciado manda “Provar que o gradiente de pressão não é suficiente para que haja fluxo”. Isso é Mecânica dos Fluidos em meios porosos, mais precisamente a Lei de Darcy e o conceito de carga (ou head) hidráulica. Para resolver, vamos precisar:
  1. A expressão da Lei de Darcy (momento viscoso vs. forças de pressão e peso).
  2. A definição de carga hidráulica e a relação entre , e .

Passo 2

Começando pela Lei de Darcy, para fluxo estacionário em um meio poroso homogêneo, dizemos que a resistência viscosa ao escoamento se equilibra com as forças de pressão e de gravidade:
muk,q;=;-nabla p;+;rho,g
onde
é a viscosidade do fluido,
é a permeabilidade do meio,
é o vetor fluxo específico,
é a densidade do fluido,
é o vetor aceleração da gravidade.

Passo 3

Desse balanço isolamos q ;=; -kmu;l(nabla p;-;rho,gr) :
nabla p;-;rho,g ;=; nabla p;+;rho,g,nabla z ;=; nabla!l(p;+;rho,g,zr)
Agora, se a gravidade atua no sentido negativo de com intensidade , podemos escrever . Logo

Passo 4

Definimos a carga hidráulica (ou head) como
h ;=;prho,g;+;z
Multiplicando por p ;+;rho,g,z ;=;rho,g,h Longrightarrow nabla!(p+rho g z) ;=; rho,g,nabla h obtemos

Passo 5

Voltando à expressão de q ;=; -kmu; nabla!l(p+rho g zr) ;=; -kmu; l(rho g,nabla hr) ;=; -underbracek,rho,gmuK;nabla h ;=; -,K,nabla h, :
onde é a condutividade hidráulica.

Resposta

O fluxo depende do gradiente da carga hidráulica , não apenas do gradiente de pressão . Ou seja, sozinho não garante escoamento: o termo gravitacional (via ) é essencial para formar . Portanto, o gradiente de pressão isolado não é suficiente para que haja fluxo.

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