Uma seguradora desenvolveu um produto de seguro saúde precificado pela fórmula:
. Onde:
é o preço do seguro e
representa a pontuação de risco médio do grupo segurado. Além disso, a função de custo total é dada por:
. A partir de estudos anteriores, o número
esperado de segurados depende, também, da pontuação de risco
:
. Diante disso, determine a pontuação de risco
que maximiza o lucro da seguradora.
Passo 1
O enunciado dá um preço por segurado
, um custo total
e número esperado de segurados
. O objetivo é achar a pontuação de risco
que maximiza o lucro da seguradora. Para isso vamos usar cálculo de máximos de função: montar a função lucro, derivar e igualar a zero.
Passo 2
Vamos montar a função lucro
como receita menos custo. A receita é
e o custo é
:
Agora expandimos a parte da receita:
Então
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
e igualamos a zero para encontrar o ponto crítico. Como
, temos:
Igualando a zero:
Passo 4
Como o coeficiente de
em
é
, a função é côncava e esse
é de fato um máximo. Além disso, para
o número de segurados
, o que faz sentido no contexto.
Resposta
r = 18,9