Uma seguradora desenvolveu um produto de seguro saúde precificado pela fórmula: p=300+25 r. Onde: p é o preço do seguro e r representa a pontuação de risco médio do grupo segurado. Além disso, a função de custo total é dada por: C(r)=100 r+5.000. A partir de estudos anteriores, o número x esperado de segurados depende, também, da pontuação de risco r : x=1.000-20 r. Diante disso, determine a pontuação de risco r que maximiza o lucro da seguradora.

Passo 1

O enunciado dá um preço por segurado p=300+25r, um custo total C(r)=100r+5000 e número esperado de segurados x=1000-20r. O objetivo é achar a pontuação de risco r que maximiza o lucro da seguradora. Para isso vamos usar cálculo de máximos de função: montar a função lucro, derivar e igualar a zero.

Passo 2

Vamos montar a função lucro pi(r) como receita menos custo. A receita é xcdot p e o custo é C(r):
pi(r)=xcdot p - C(r) = (1000-20r)(300+25r) - (100r+5000)
Agora expandimos a parte da receita:
(1000-20r)(300+25r) =1000cdot300 + 1000cdot25r -20rcdot300 -20rcdot25r =300000 +25000r -6000r -500r^2 =300000 +19000r -500r^2
Então
pi(r)=300000 +19000r -500r^2 -100r -5000 =295000 +18900r -500r^2

Passo 3

Agora derivamos pi(r) em relação a r e igualamos a zero para encontrar o ponto crítico. Como pi(r)=-500r^2+18900r+295000, temos:
pi'(r) = -1000r +18900
Igualando a zero:
-1000r +18900 = 0 1000r =18900 r = 189001000 = 18.9

Passo 4

Como o coeficiente de r^2 em pi(r) é -500<0, a função é côncava e esse r=18.9 é de fato um máximo. Além disso, para r=18.9 o número de segurados x=1000-20cdot18.9=622>0, o que faz sentido no contexto.

Resposta

r = 18,9

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