Prove que se h é contínua, f e g são diferenciáveis e
F(x)=integralf(x)^g(x) h(t) d t
então F^prime(x)=h(g(x)) cdot g^prime(x)-h(f(x)) cdot f^prime(x). Sugestão: Procure reduzir este para dois casos já tratados, com uma constane como limite superior ou inferior de integração.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados
F(x)=integralf(x)^g(x)h(t),dt,
com h contínua e f,g diferenciáveis, temos
F'(x)=hl(g(x)r),g'(x);-;hl(f(x)r),f'(x)
O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais com limite variável e a regra da cadeia.

Passo 2

Escolhemos uma constante arbitrária c e escrevemos
F(x) =integralf(x)^g(x)h(t),dt =integralc^g(x)h(t),dt ;-;integralc^f(x)h(t),dt
Assim definimos duas funções:
G(x)=integralc^g(x)h(t),dt, H(x)=integralc^f(x)h(t),dt,
de modo que F(x)=G(x)-H(x).

Passo 3

Para G(x)=integralc^g(x)h(t),dt, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo ao limite superior variável e em seguida a regra da cadeia. Se u=g(x), então
ddxintegralc^g(x)h(t),dt =ddul(integralc^uh(t),dtr)cdot u'(x) =hl(g(x)r),g'(x)
Logo
G'(x)=hl(g(x)r),g'(x)

Passo 4

Analogamente, para H(x)=integralc^f(x)h(t),dt temos, com v=f(x),
ddxintegralc^f(x)h(t),dt =hl(f(x)r),f'(x),
isto é,
H'(x)=hl(f(x)r),f'(x)

Passo 5

Como F(x)=G(x)-H(x), pela linearidade da derivada obtemos
F'(x)=G'(x)-H'(x) =hl(g(x)r),g'(x);-;hl(f(x)r),f'(x)

Resposta

F'(x)=hl(g(x)r),g'(x)-hl(f(x)r),f'(x)

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