Prove que se
é contínua,
e
são diferenciáveis e
então
. Sugestão: Procure reduzir este para dois casos já tratados, com uma constane como limite superior ou inferior de integração.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados
com
contínua e
diferenciáveis, temos
O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais com limite variável e a regra da cadeia.
Passo 2
Escolhemos uma constante arbitrária
e escrevemos
Assim definimos duas funções:
de modo que
.
Passo 3
Para
, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo ao limite superior variável e em seguida a regra da cadeia. Se
, então
Logo
Passo 4
Analogamente, para
temos, com
,
isto é,
Passo 5
Como
, pela linearidade da derivada obtemos