Prove que:
i)
.
i)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz pra provar que
Isso é um exercício de teoria de conjuntos, mais especificamente sobre interseção e conjunto vazio.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Definição de interseção:
significa “ e ”. - Propriedade do conjunto vazio: não existe elemento em
. - Noções de prova de igualdade entre conjuntos via inclusão mútua.
Passo 2
Vamos lembrar da definição de cada coisa:
- Conjunto vazio
é aquele que não tem NENHUM elemento. - Interseção
é o conjunto de todos os que estão ao mesmo tempo em e em .
Em símbolos:
Passo 3
Provar que
:
- Suponha, para fins de contradição, que exista um
tal que - Pela definição de interseção, isso implica
- Mas não existe elemento em
! Logo é impossível ter . - Conclusão: não existe
, então o conjunto não tem elementos.
Isto mostra que todo elemento de(que na verdade não existe) está em . Portanto
Passo 4
Provar que
:
- Para mostrar uma inclusão
, a gente pega um elemento genérico e tenta provar . - Mas não existe \emph{nenhum}
. Então qualquer afirmação do tipo “se , então (…)” é automaticamente verdadeira (chama-se prova por vacuidade). - Logo
.
Passo 5
Como provamos tanto
pela definição de igualdade de conjuntos (inclusão mútua), concluímos que
Resposta
Portanto,
.