Prove que:
i) A cap varnothing=varnothing.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz pra provar que
A cap varnothing = varnothing
Isso é um exercício de teoria de conjuntos, mais especificamente sobre interseção e conjunto vazio.
O que vamos precisar:
  • Definição de interseção: significa “ e ”.
  • Propriedade do conjunto vazio: não existe elemento em .
  • Noções de prova de igualdade entre conjuntos via inclusão mútua.

Passo 2

Vamos lembrar da definição de cada coisa:
  1. Conjunto vazio x in A cap B Long<=ftrightarrow (x in A) wed>= (x in B) é aquele que não tem NENHUM elemento.
  2. Interseção é o conjunto de todos os que estão ao mesmo tempo em e em .
    Em símbolos:

Passo 3

Provar que x in A cap varnothing:
  • Suponha, para fins de contradição, que exista um (x in A) wed>= (x in varnothing) tal que boxedA cap varnothing subseteq varnothing
  • Pela definição de interseção, isso implica
  • Mas não existe elemento em ! Logo é impossível ter .
  • Conclusão: não existe , então o conjunto não tem elementos.
    Isto mostra que todo elemento de (que na verdade não existe) está em . Portanto

Passo 4

Provar que :
  • Para mostrar uma inclusão , a gente pega um elemento genérico e tenta provar .
  • Mas não existe \emph{nenhum} . Então qualquer afirmação do tipo “se , então (…)” é automaticamente verdadeira (chama-se prova por vacuidade).
  • Logo .

Passo 5

Como provamos tanto
A cap varnothing subseteq varnothing quanto varnothing subseteq A cap varnothing,
pela definição de igualdade de conjuntos (inclusão mútua), concluímos que
A cap varnothing = varnothing

Resposta

Portanto, .

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