Prove as identidades abaixo:
1-tg^2 x1+tg^2 x=1-2 sen^2 x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
1-tan^2x1+tan^2x=1-2sin^2x
Isso envolve identidades trigonométricas básicas: a definição de tan x, a relação pitagórica sin^2x+cos^2x=1 e a fórmula do ângulo duplo para cos2x.

Passo 2

Começamos substituindo tan^2x=sin^2xcos^2x na expressão:
1-tan^2x1+tan^2x =1-sin^2xcos^2x1+sin^2xcos^2x

Passo 3

Agora simplificamos a fração, colocando tudo sobre o mesmo denominador cos^2x e usando cos^2x+sin^2x=1:
1-sin^2xcos^2x1+sin^2xcos^2x =cos^2x-sin^2xcos^2xcos^2x+sin^2xcos^2x =cos^2x-sin^2xcos^2x+sin^2x =cos^2x-sin^2x

Passo 4

Reconhecemos que cos^2x-sin^2x é justamente a fórmula do cosseno do ângulo duplo:
cos^2x-sin^2x=cos2x

Passo 5

Por fim, aplicando a outra forma da fórmula de ângulo duplo:
cos2x=1-2sin^2x,
vemos que a expressão original se iguala a 1-2sin^2x, o que completa a prova da identidade.

Resposta

dfrac1-tan^2x1+tan^2x=1-2sin^2x

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