Prove que a igualdade de conjuntos satisfaz as seguintes propriedades:
iii) forall A, B, C, A=B e B=C, então A=C.

Passo 1

Beleza, o que a questão está pedindo é mostrar que a igualdade de conjuntos é “transitiva”, ou seja: se A = B e B = C, então a gente consegue concluir que A = C.
Conteúdo: teoria de conjuntos, mais especificamente definição de igualdade de conjuntos e inclusão.
O que vamos precisar:
  • Saber que dois conjuntos são iguais quando cada um está contido no outro.
  • Entender a definição de “subconjunto” ( subseteq).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de igualdade de conjuntos:
A = B Long<=ftrightarrow (A subseteq B);e;(B subseteq A)
E definição de subconjunto:
X subseteq Y Long<=ftrightarrow (forall x,;xin Ximplies xin Y)

Passo 3

Como a hipótese diz que A = B e B = C, a gente já tira:
  1. A subseteq B e B subseteq A.
  2. B subseteq C e C subseteq B.
    Agora, pra provar A = C, precisamos mostrar:
    a) A subseteq C.
    b) C subseteq A.
Vamos ao item (a):
Tomamos um elemento qualquer xin A.
Como A subseteq B, isso implica xin B.
E como B subseteq C, disso segue xin C.
Logo, todo xin A está em C, ou seja, A subseteq C.

Passo 4

Agora o item (b):
Pegamos um elemento genérico yin C.
Como C subseteq B, então yin B.
E como B subseteq A, disso vem yin A.
Portanto, C subseteq A.

Resposta

Como mostramos A subseteq C e C subseteq A, pela definição de igualdade de conjuntos concluímos que
A = C

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