Prove que a igualdade de conjuntos satisfaz as seguintes propriedades:
iii)
e
, então
.
iii)
Passo 1
Beleza, o que a questão está pedindo é mostrar que a igualdade de conjuntos é “transitiva”, ou seja: se
e
, então a gente consegue concluir que
.
Conteúdo: teoria de conjuntos, mais especificamente definição de igualdade de conjuntos e inclusão.
O que vamos precisar:
Conteúdo: teoria de conjuntos, mais especificamente definição de igualdade de conjuntos e inclusão.
O que vamos precisar:
- Saber que dois conjuntos são iguais quando cada um está contido no outro.
- Entender a definição de “subconjunto” (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição de igualdade de conjuntos:
E definição de subconjunto:
Passo 3
Como a hipótese diz que
e
, a gente já tira:
-
e . -
e .
Agora, pra provar, precisamos mostrar:
a).
b).
Vamos ao item (a):
Tomamos um elemento qualquer .
Como , isso implica
.
E como , disso segue
.
Logo, todo está em
, ou seja,
.
Tomamos um elemento qualquer
Como
E como
Logo, todo
Passo 4
Agora o item (b):
Pegamos um elemento genérico .
Como , então
.
E como , disso vem
.
Portanto, .
Pegamos um elemento genérico
Como
E como
Portanto,
Resposta
Como mostramos
e
, pela definição de igualdade de conjuntos concluímos que