Prove que a igualdade de conjuntos satisfaz as seguintes propriedades:
ii)
.
ii)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a igualdade de conjuntos é simétrica, ou seja:
Conteúdo: Teoria de conjuntos – definição de igualdade de conjuntos.
O que precisamos: saber que
Conteúdo: Teoria de conjuntos – definição de igualdade de conjuntos.
O que precisamos: saber que
Passo 2
Definição de igualdade de conjuntos:
Dois conjuntos e
são iguais se todo elemento de
está em
e todo elemento de
está em
.
Em símbolos:
Dois conjuntos
Em símbolos:
Aqui usamos a ideia de implicação (
) e conjunção (
).
Passo 3
Vamos à prova:
- Suponha
. - Então, pela definição, temos
- Para provar
precisamos exatamente das mesmas duas condições, só que na ordem “ primeiro, depois”: - Mas as condições
e já são exatamente essas duas! Basta reescrevê-las na ordem contrária. - Logo, pelas mesmas duas implicações, concluímos que
.
Resposta
Portanto, provamos que