Prove que a igualdade de conjuntos satisfaz as seguintes propriedades:
ii) forall A, B, A=B Rightarrow B=A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a igualdade de conjuntos é simétrica, ou seja:
Conteúdo: Teoria de conjuntos – definição de igualdade de conjuntos.
O que precisamos: saber que
A = B Long<=ftrightarrow l(forall x,;xin ARightarrow xin Br);wed>=;l(forall x,;xin BRightarrow xin Ar)

Passo 2

Definição de igualdade de conjuntos:
Dois conjuntos A = B ;Long<=ftrightarrow; l(forall x,;xin ARightarrow xin Br) ;wed>=; l(forall x,;xin BRightarrow xin Ar) e são iguais se todo elemento de está em e todo elemento de está em .
Em símbolos:
Aqui usamos a ideia de implicação ( ) e conjunção ( ).

Passo 3

Vamos à prova:
  1. Suponha (i);forall x,;xin ARightarrow xin B, (ii);forall x,;xin BRightarrow xin A .
  2. Então, pela definição, temos l(forall x,;xin BRightarrow xin Ar) ;wed>=; l(forall x,;xin ARightarrow xin Br)
  3. Para provar precisamos exatamente das mesmas duas condições, só que na ordem “ primeiro, depois”:
  4. Mas as condições e já são exatamente essas duas! Basta reescrevê-las na ordem contrária.
  5. Logo, pelas mesmas duas implicações, concluímos que .

Resposta

Portanto, provamos que
forall A,B,;;A = B ;Longrightarrow; B = A

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