Prove as igualdades abaixo:
1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right) \cdots\left(\frac{1}{2}-n+1\right)}{n!} \frac{1}{3^{n}}=\left(\frac{4}{3}\right)^{1 / 2};

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\frac12\bigl(\tfrac12-1\bigr)\cdots\bigl(\tfrac12-n+1\bigr)}{n!}\,\frac1{3^n}
é igual a \bigl(\tfrac43\bigr)^{1/2}. O conteúdo principal aqui é a expansão binomial para expoente fracionário.

Passo 2

Recordamos a fórmula da série binomial para qualquer \alpha\in\mathbb{R} e |x|<1:
(1+x)^{\alpha} \;=\;\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n}\,x^n,
onde
\binom{\alpha}{n} =\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.

Passo 3

No nosso caso, escolhemos \alpha=\tfrac12 e x=\tfrac13. Então o termo geral da série é
\binom{\tfrac12}{n}\,\Bigl(\tfrac13\Bigr)^n =\frac{\tfrac12\bigl(\tfrac12-1\bigr)\cdots\bigl(\tfrac12-n+1\bigr)}{n!}\,\frac1{3^n}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da série binomial a esses valores, obtemos
(1 + \tfrac13)^{1/2} =\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\tfrac12}{n}\,\Bigl(\tfrac13\Bigr)^n.

Passo 5

Como \;1+\tfrac13=\tfrac43, temos
\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\tfrac12}{n}\,\Bigl(\tfrac13\Bigr)^n =\Bigl(\tfrac43\Bigr)^{1/2}.
O termo para n=0 é \binom{\tfrac12}{0}(\tfrac13)^0=1, e os demais n\ge1 formam precisamente a soma do enunciado.

Resposta

1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\frac12\bigl(\tfrac12-1\bigr)\cdots\bigl(\tfrac12-n+1\bigr)}{n!}\,\frac1{3^n} =\Bigl(\tfrac43\Bigr)^{1/2}.

Exercícios relacionados