Prove as igualdades abaixo:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{2^{n+1}(n+1)}=\ln \frac{3}{2};

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2^{n+1}(n+1)}=\ln\frac{3}{2}.
O conteúdo aqui é a expansão em série de potências do logaritmo natural e vamos usar a fórmula de Maclaurin para \ln(1+x).

Passo 2

Sabemos que, para |x|<1, vale a expansão
\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{x^{k}}{k}.
Essa série converge (é alternada e decrescente em módulo) e define exatamente \ln(1+x) no intervalo de convergência.

Passo 3

Basta agora escolher x=\tfrac12. Então
\ln\bigl(1+\tfrac12\bigr)=\ln\tfrac32
e, aplicando a série,
\ln\tfrac32 =\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{(1/2)^{k}}{k} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(1/2)^{n+1}}{n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2^{n+1}(n+1)}.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{2^{n+1}(n+1)}=\ln\frac{3}{2}.

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