Prove que:
iii) A cup A^c=U.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra provar que
A ;cup; A^c ;=;U,
O conteúdo aqui é Teoria de Conjuntos: entender o que é união, o que é complemento e como a gente prova que dois conjuntos são iguais (mostrando duas inclusões).

Passo 2

Antes de mais nada, vamos lembrar as definições:
  1. Complemento:
A^c ;=;,xinU:xnotin A,
Ou seja, tudo que está em Xcup Y ;=;,x: xin X ou xin Y, e não está em .
2) União:
  1. Igualdade de conjuntos : mostrar e .

Passo 3

Provar .
  • Sabemos que (por definição de complemento, tudo em vive em ).
  • E também (o complemento só pega elementos de ).
    Logo, se , então ou , e em qualquer caso .
    Isso mostra .

Passo 4

Provar .
  • Pegue um elemento qualquer .
  • Ou , e aí automaticamente .
  • Ou , e aí por definição , logo de novo .
    Em qualquer dos dois casos, .
    Isso garante .

Resposta

Acup A^c ;=;U

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