Prove que:
iii) forall A, B, A subset B e B subset A, Leftrightarrow A=B.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Provar que, para quaisquer conjuntos A subset B e B subset A Long<=ftrightarrow A = B e ,
Isso é teoria básica de conjuntos. A gente vai usar as definições de “inclusão” e de “igualdade” de conjuntos.

Passo 2

Prova da implicação direta
Queremos mostrar que
l(A subset B e B subset Ar) ;Longrightarrow; A = B
Lembra que:
  • (x in A to x in B) e (x in B to x in A) ;Longrightarrow; (x in A long<=ftrightarrow x in B) significa .
  • significa .
  • E por definição significa .
Então, a partir de

  1. podemos juntar as duas para todo :
Logo, , que é exatamente .

Passo 3

Prova da implicação inversa
Agora mostramos que
A = B ;Longrightarrow; l(A subset B e B subset Ar)
Se , então por definição .
  • Para provar , pegamos um qualquer e, sabendo que , pela equivalência concluímos .
  • De modo análogo, para , se então .
Assim, nos dá simultaneamente e .

Resposta

Portanto, juntando as duas direções:
forall A,B,;l(A subset B e B subset Ar) ;Long<=ftrightarrow; A = B

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