Prove que:
iii)
e
.
iii)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede: “Provar que, para quaisquer conjuntos
e
,
Isso é teoria básica de conjuntos. A gente vai usar as definições de “inclusão” e de “igualdade” de conjuntos.
Passo 2
Prova da implicação direta
Queremos mostrar que
Queremos mostrar que
Lembra que:
-
significa . -
significa . - E por definição
significa .
Então, a partir de
-
-
podemos juntar as duas para todo:
Logo,
, que é exatamente
.
Passo 3
Prova da implicação inversa
Agora mostramos que
Agora mostramos que
Se
, então por definição
.
- Para provar
, pegamos um qualquer e, sabendo que , pela equivalência concluímos . - De modo análogo, para
, se então .
Assim,
nos dá simultaneamente
e
.
Resposta
Portanto, juntando as duas direções: