Prove que
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
Vou deixar explícito o que está sendo usado e as notações (essas informações vieram do próprio enunciado, estou só explicitando para não ter dúvida):
-
é o vetor posição em relação à origem. -
é a distância ao ponto de integração até a origem. -
é um volume no espaço tridimensional e é sua superfície de fronteira, com sendo o versor normal exterior à superfície. - A igualdade pede que o triplo integral do escalar
sobre seja igual ao fluxo através de do escalar .
Nota importante (que já aparece como uma informação relevante do enunciado): a função
tem singularidade em
. Isso costuma ser crucial na validade de fórmulas que envolvem teoremas de divergência. A resolução começa daqui.
Passo 2
Uma tentativa natural é usar o teorema da divergência (Gauss). Para relacionar um volume com um fluxo de superfície, normalmente procuramos um campo vetorial
tal que a componente normal na superfície seja exatamente o integrando do lado direito:
(pois
). Assim o lado direito é o fluxo de
através de
:
Pelo teorema da divergência, se
é suficientemente suave em
(i.e., sem singularidades em
), então
Logo é natural calcular
para
e comparar com
.
Passo 3
Calcular
detalhadamente. Use a forma radial ou faça em coordenadas cartesianas; aqui uso a forma radial para ficar mais claro:
Se
(campo radial), então
No nosso caso
, logo
. Então
e
Portanto, para
,
Observação didática: se alguém calcular em coordenadas cartesianas obterá o mesmo resultado (somando as três derivadas parciais de
).
Repare que isso já mostra algo importante: o teorema da divergência aplicado a
dá
não
. Ou seja, pelo caminho óbvio o lado direito da igualdade do enunciado corresponde a
, não a
. Já aparece aqui uma incompatibilidade formal entre a identidade pedida e o teorema da divergência.
Passo 4
Para decidir se a identidade original é verdadeira ou falsa, é suficiente produzir um contra-exemplo simples. Escolho
sendo a bola de raio
centrada na origem (isto é,
). Este é um exemplo natural porque a fórmula do enunciado envolve
medido a partir da origem.
-
Cálculo do lado esquerdo no exemplo da bola:
use coordenadas esféricas. O elemento de volume é, onde é o elemento de ângulo sólido e . Assim A integraldiverge (logaritmicamente) no limite . Portanto (ou seja, o lado esquerdo não é finito). -
Cálculo do lado direito na mesma bola:
na superfície esférica de raiotem-se e sobre toda a superfície. Então que é um número finito.
Comparando: para essa escolha de
(bola centrada na origem) o membro esquerdo diverge e o membro direito é
. Logo a igualdade
é falsa para este exemplo. Portanto a identidade NÃO é verdadeira em geral.
Passo 5
Explico de forma didática por que isso acontece (motivação conceptual):
- O integrando
tem uma singularidade não integrável em em três dimensões (a integral radial comporta-se como perto de zero, que diverge). Por isso muitas relações que envolvem teoremas de divergência falham se a origem estiver dentro do volume, porque o campo não é suave em . - Além disso, como foi mostrado no Passo 3, o campo cuja normal na superfície é
tem divergência (para ), e não . Assim mesmo quando está fora de (situação em que se pode aplicar Gauss diretamente), a verdadeira relação via divergência seria e não com no integrando de volume.
Passo 6
Conclusão e observações finais úteis para a prova:
- A igualdade dada no enunciado é, em geral, falsa. O contra-exemplo da bola centrada na origem prova isso de forma direta.
- O caminho correto para relacionar um fluxo com um integral de volume é encontrar um campo
tal que seja o integrando de superfície e então aplicar o teorema da divergência; aqui leva a , o que explica a diferença. - Se a questão original tivesse pedido
então essa identidade vale sempre que for suficientemente suave em (ou seja, quando a origem não estiver dentro de ); em particular, para volumes que não contenham a origem, essa igualdade é a aplicação direta do teorema da divergência.
Força aí — quando virem essas expressões com
no denominador na prova, já fica o sinal: verifiquem singularidades (pontos onde
) antes de aplicar Gauss automaticamente.
Resposta
A identidade é falsa em geral. Contra-exemplo: para
sendo a bola de raio
centrada na origem,
enquanto
, logo não são iguais.