Prove que
\iiint_{V} \frac{d V}{r^{3}}=\oiint_{s} \frac{\vec{r} \cdot \hat{n}}{r^{2}} d s

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
\iiint_{V}\frac{dV}{r^{3}}=\oiint_{S}\frac{\vec r\cdot\hat n}{r^{2}}\,dS.
Vou deixar explícito o que está sendo usado e as notações (essas informações vieram do próprio enunciado, estou só explicitando para não ter dúvida):
  • \vec r=(x,y,z) é o vetor posição em relação à origem.
  • r=|\vec r|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} é a distância ao ponto de integração até a origem.
  • V é um volume no espaço tridimensional e S=\partial V é sua superfície de fronteira, com \hat n sendo o versor normal exterior à superfície.
  • A igualdade pede que o triplo integral do escalar 1/r^{3} sobre V seja igual ao fluxo através de S do escalar (\vec r\cdot\hat n)/r^{2}.
Nota importante (que já aparece como uma informação relevante do enunciado): a função 1/r^{3} tem singularidade em r=0. Isso costuma ser crucial na validade de fórmulas que envolvem teoremas de divergência. A resolução começa daqui.

Passo 2

Uma tentativa natural é usar o teorema da divergência (Gauss). Para relacionar um volume com um fluxo de superfície, normalmente procuramos um campo vetorial \vec F tal que a componente normal na superfície seja exatamente o integrando do lado direito:
\vec F\cdot\hat n=\frac{\vec r\cdot\hat n}{r^{2}}\quad\Rightarrow\quad \vec F=\frac{\vec r}{r^{2}}
(pois \vec F\cdot\hat n=(\vec r/r^{2})\cdot\hat n=(\vec r\cdot\hat n)/r^{2}). Assim o lado direito é o fluxo de \vec F através de S:
\oiint_{S}\frac{\vec r\cdot\hat n}{r^{2}}\,dS=\oiint_{S}\vec F\cdot\hat n\,dS.
Pelo teorema da divergência, se \vec F é suficientemente suave em V (i.e., sem singularidades em V), então
\oiint_{S}\vec F\cdot\hat n\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec F\,dV.
Logo é natural calcular \nabla\cdot\vec F para \vec F=\dfrac{\vec r}{r^{2}} e comparar com \dfrac{1}{r^{3}}.

Passo 3

Calcular \nabla\cdot\vec F detalhadamente. Use a forma radial ou faça em coordenadas cartesianas; aqui uso a forma radial para ficar mais claro:
Se \vec F=f(r)\,\hat r (campo radial), então
\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\big(r^{2}f(r)\big).
No nosso caso \vec F=\dfrac{\vec r}{r^{2}}=\dfrac{1}{r}\,\hat r, logo f(r)=\dfrac{1}{r}. Então
r^{2}f(r)=r^{2}\cdot\frac{1}{r}=r,
e
\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}(r)=\frac{1}{r^{2}}.
Portanto, para r\neq 0,
\nabla\cdot\!\left(\frac{\vec r}{r^{2}}\right)=\frac{1}{r^{2}}.
Observação didática: se alguém calcular em coordenadas cartesianas obterá o mesmo resultado (somando as três derivadas parciais de x/r^{2},y/r^{2},z/r^{2}).
Repare que isso já mostra algo importante: o teorema da divergência aplicado a \vec F=\vec r/r^{2}
\oiint_{S}\frac{\vec r\cdot\hat n}{r^{2}}\,dS=\iiint_{V}\frac{1}{r^{2}}\,dV,
não \iiint_{V}\dfrac{1}{r^{3}}\,dV. Ou seja, pelo caminho óbvio o lado direito da igualdade do enunciado corresponde a \iiint_{V}1/r^{2}\,dV, não a \iiint_{V}1/r^{3}\,dV. Já aparece aqui uma incompatibilidade formal entre a identidade pedida e o teorema da divergência.

Passo 4

Para decidir se a identidade original é verdadeira ou falsa, é suficiente produzir um contra-exemplo simples. Escolho V sendo a bola de raio R centrada na origem (isto é, V=\{ \vec r : 0\le r\le R\}). Este é um exemplo natural porque a fórmula do enunciado envolve r medido a partir da origem.
  • Cálculo do lado esquerdo no exemplo da bola:
    use coordenadas esféricas. O elemento de volume é dV=r^{2}\,dr\,d\Omega, onde d\Omega é o elemento de ângulo sólido e \int d\Omega=4\pi. Assim
    \iiint_{V}\frac{dV}{r^{3}} =\int_{0}^{R}\!\int_{\Omega}\frac{1}{r^{3}}\,r^{2}\,dr\,d\Omega =4\pi\int_{0}^{R}\frac{1}{r}\,dr.
    A integral \int_{0}^{R}\dfrac{1}{r}\,dr diverge (logaritmicamente) no limite r\to 0. Portanto
    \iiint_{V}\frac{dV}{r^{3}}=+\infty
    (ou seja, o lado esquerdo não é finito).
  • Cálculo do lado direito na mesma bola:
    na superfície esférica de raio R tem-se \hat n=\hat r e \vec r\cdot\hat n = r=R sobre toda a superfície. Então
    \oiint_{S}\frac{\vec r\cdot\hat n}{r^{2}}\,dS =\oiint_{S}\frac{R}{R^{2}}\,dS =\frac{1}{R}\cdot(\text{área da esfera})=\frac{1}{R}\cdot 4\pi R^{2}=4\pi R,á
    que é um número finito.
Comparando: para essa escolha de V (bola centrada na origem) o membro esquerdo diverge e o membro direito é 4\pi R. Logo a igualdade
\iiint_{V}\frac{dV}{r^{3}}=\oiint_{S}\frac{\vec r\cdot\hat n}{r^{2}}\,dS
é falsa para este exemplo. Portanto a identidade NÃO é verdadeira em geral.

Passo 5

Explico de forma didática por que isso acontece (motivação conceptual):
  • O integrando \dfrac{1}{r^{3}} tem uma singularidade não integrável em r=0 em três dimensões (a integral radial comporta-se como \int r^{-1}dr perto de zero, que diverge). Por isso muitas relações que envolvem teoremas de divergência falham se a origem estiver dentro do volume, porque o campo \vec F=\vec r/r^{2} não é suave em r=0.
  • Além disso, como foi mostrado no Passo 3, o campo cuja normal na superfície é (\vec r\cdot\hat n)/r^{2} tem divergência \nabla\cdot\vec F=1/r^{2} (para r\neq 0), e não 1/r^{3}. Assim mesmo quando r=0 está fora de V (situação em que se pode aplicar Gauss diretamente), a verdadeira relação via divergência seria \oiint_{S}\frac{\vec r\cdot\hat n}{r^{2}}\,dS=\iiint_{V}\frac{1}{r^{2}}\,dV,e não com 1/r^{3} no integrando de volume.

Passo 6

Conclusão e observações finais úteis para a prova:
  • A igualdade dada no enunciado é, em geral, falsa. O contra-exemplo da bola centrada na origem prova isso de forma direta.
  • O caminho correto para relacionar um fluxo com um integral de volume é encontrar um campo \vec F tal que \vec F\cdot\hat n seja o integrando de superfície e então aplicar o teorema da divergência; aqui \vec F=\vec r/r^{2} leva a \nabla\cdot\vec F=1/r^{2}, o que explica a diferença.
  • Se a questão original tivesse pedido \oiint_{S}\frac{\vec r\cdot\hat n}{r^{2}}\,dS=\iiint_{V}\frac{1}{r^{2}}\,dVentão essa identidade vale sempre que \vec F=\vec r/r^{2} for suficientemente suave em V (ou seja, quando a origem não estiver dentro de V); em particular, para volumes que não contenham a origem, essa igualdade é a aplicação direta do teorema da divergência.
Força aí — quando virem essas expressões com r no denominador na prova, já fica o sinal: verifiquem singularidades (pontos onde r=0) antes de aplicar Gauss automaticamente.

Resposta

A identidade é falsa em geral. Contra-exemplo: para V sendo a bola de raio R centrada na origem, \displaystyle\iiint_{V}\dfrac{dV}{r^{3}}=+\infty enquanto \displaystyle\oiint_{S}\dfrac{\vec r\cdot\hat n}{r^{2}}\,dS=4\pi R, logo não são iguais.

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